15.4. Інші формалізації логіки висловлювань

Теорія L не є єдиною можливою формалізацією числення висловлювань. Її основна перевага – лаконічність при збереженні певної наочності. Дійсно, у теоріїL всього лиш дві зв’язки, три схеми аксіом та одне правило. Відомі також і інші формалізації числення висловлювань, запропоновані різними авторами.

Теорія L₁ (Гілберт, Акерман). Основні зв’язки: ,  (АВ = АВ).

Схеми аксіом:

1. ААА

2. ААВ

3. АВ ВА

4. (ВС)  (АВ  АС)

Правило виведення: MP.

Теорія L₂ (Росер). Основні зв’язки: ,  (АВ = (АВ)).

Схеми аксіом:

1. А(АА)

2. (АВ)А

3. (CВ)  ((АВ)  (СА))

Правило виведення: MP.

Теорія L₄ (Кліні). Основні зв’язки: , , , .

Схеми аксіом:

1. A (BA);

2. (A(BC))  ((AB)  (AC));

3. (АВ)А

4. (АВ)B

5. A  (B  (АВ))

6. ААВ

7. BАВ

8. (AC)  ((BC)  ((AB) C))

9. (AB)  ((AB)  A).

10. AА

Правило виведення: MP.

15.5. Модельні властивості теорії l

У минулій лекції нами були розглянуті властивості, якими можуть володіти формальні теорії. Розглянемо виконуваність цих властивостей для теорії L. В якості інтерпретації формальної теорії L оберемо алгебру висловлювань. Поставимо у відповідність кожній літері теорії L пропозиційну літеру, кожній формулі L – формулу логіки висловлювань, кожній теоремі – тавтологію логіки висловлювань. Неважко пересвідчитись, що схеми аксіом теорії L є тавтологіями алгебри висловлювань. Відповідно, логіка висловлювань є моделлю теорії L.

Теорема 15.3 (повнота теорії L). Формула А виводиться у теорії L тоді і тільки тоді, коли А – тавтологія.

Доведення. В один бік доведення випливає з того факту, що аксіоми А1 – А3 є тавтологіями, в чому неважко пересвідчитись, побудувавши для них таблиці істинності. А застосування правила МР до тавтологій зберігає логічне слідування, тобто отримані формули також будуть тавтологіями (див. теорему 14.3). Отже, всяка теорема теорії L – тавтологія.

Доведення в протилежний бік в рамках даного курсу не розглядається. Додатково з ним можна ознайомитись у [2, 4, 7, 9, 11]. ►

Теорема 15.4. Теорія L несуперечлива.

Доведення. Кожна теорема теорії L є тавтологією логіки висловлювань. Заперечення формули, яка є тавтологією, відповідно, не є тавтологією. Отже, для жодної формули А неможливо, щоби А та A були теоремами теорії L. ►

Теорема 15.5. Теорія L неповна у широкому сенсі.

Доведення. Дійсно, не всяка формула або її заперечення є теоремами теорії L. Якщо взяти нейтральну формулу логіки висловлювань, то її заперечення також є нейтральною формулою, тобто ані сама формула, ані її заперечення не є тавтологіями алгебри висловлювань. Тому ці формули не є теоремами числення L. ►

Теорема 15.6. Теорія L повна у вузькому сенсі.

Доведення. Для доведення теореми треба показати, що теоріяL стає суперечливою при додаванні до її системи аксіом довільної формули цієї теорії, яка не доводиться.

Дійсно, теорія L має три схеми аксіом А1, А2, А3 та правило виведення МР. Побудуємо нову теорію L’, додавши до системи аксіом L формулу А, яка не є тавтологією логіки висловлювань. Тоді формула А приймає хоча б одне хибне значення на деякій інтерпретації. Значить, якщо А представлена кон’юнктивною нормальною формою, то ця форма має містити хоча б одну елементарну диз’юнкцію , яка не містить жодну змінну разом із її запереченням:  = B’₁…B’_n, де B’_i = B_i, якщо |B_i|=T, та B’_i = B_i, якщо |B_i|=F. У елементарній диз’юнкції  замінимо кожне входження пропозиційної літери B_i на В, якщо |B_i|=F, та на B, якщо |B_i|=T. Отримуємо: ’ = B  B … B  B = B. Зробимо іншу заміну: зімнемо B_i на В, якщо |B_i|=T, та на B, якщо |B_i|=F. Тоді, ” = B  … B=B. У новій теорії L’.

У новій теорії L’ формула А – аксіома, тобто ╞ А. Оскільки А може бути представлена у ДКНФ, то за правилом видалення  довільна елементарна диз’юнкція  кон’юнктивної нормальної форми також може бути доведена. А через те, що диз’нкція  може бути представлена у вигляді як ’, так і ”, то в L’ виконується і ╞ ’, і ╞ ”, а це означає, що ╞ B і ╞ B Тобто теорія L’ суперечлива. ►

Теорема 15.7. Теорія L роз’вязувана.

Доведення. Це справедливо за тим міркуванням, що для кожної теореми теорії існує відповідна тавтологія, а для довільної тавтології можна побудувати таблицю істинності. ►