15.2. Теорема дедукції

У математичних міркуваннях часто якесь твердження В доводиться у припущенні правильності якогось іншого твердження А, після чого встановлюють, що правильним є твердження “якщо А, то В”. У численні висловлювань цей метод обґрунтовується такою теоремою.

Теорема 15.1 (теорема дедукції Ербрана). Нехай Г – множина формул, А і В – формули й Г, А╞ В. Тоді Г╞ АВ.

Доведення. Нехай В₁,...,В_n є виведенням В з Г та А. Доведення проведемо методом індукції за n-довжиною виведення. При n=1 формула В збігається з В₁. Згідно з означенням виведення можливі є три випадки:

• В₁ – аксіома:

1. ╞ В₁

2. ╞ В₁  (А  В₁) А1

3. ╞ А  В₁ за правилом МР

4. Г╞ А  В₁ за першою властивістю виведення з гіпотезами.

• В₁ – формула з множини Г – доведення аналогічно попередньому пунктові.

• В₁ збігається з А. Але ми вже довели теорему L1: ╞ АА і за першою властивістю виведення з гіпотезами маємо Г╞ АА.

Припустимо тепер, що коли довжина виведення В з Г, А менша від n, твердження теореми є правильним. Доведемо його для випадку, коли довжина виведення дорівнює n. При цьому можливі чотири випадки:

• В_n – аксіома – доводиться аналогічно коли n=1;

• В_n – формула з множини Г – доводиться аналогічно коли n=1;

• В_n збігається А – доводиться аналогічно коли n=1;

• В_n виводиться за МР з попередніх формул, тобто у послідовності В₁,...,В_n є формули: B_m та B_l = B_m В_n, l<n, m<n. Тоді за припущенням індукції маємо:

1. Г╞ А  В_m

2. Г╞ А  В_l, тобто Г╞ А  (B_m В_n)

3. Г╞ (A( B_m В_n))  ((A B_m)  (A В_n)) А2

4. Г╞ (A B_m)  (A В_n) МР (2,3)

5. Г╞ A В_n МР (1,4)

Теорему доведено. ►

Справедлива обернена зворотна теорема дедукції.

Теорема 15.2 (зворотна теорема дедукції). Якщо існує вивід Г╞AВ, то формула В виводиться з Г та А, тобто якщо Г╞AВ, то Г,A╞ В.

Доведення. Нехай вивід формули AВ має вигляд: В₁,...,В_n-1, AВ, де В₁,...,В_n-1 – формули з множини Г. Тоді вивід формули В з Г та А буде мати вигляд: В₁,...,В_n-1, AВ, А, В, так як В слідує з AВ та А по правилу МР. ►

Теорема дедукції має наступні наслідки.

Наслідок 1 (правило силогізму). AВ,BC╞AC.

Побудуємо виведення.

1. AВ гіпотеза

2. BC гіпотеза

3. A гіпотеза

4. В МР (1,3)

5. С МР (2,5)

Тоді отримали AВ, BC, A╞ C. За теоремою дедукції маємо AВ, BC╞ AC.

Наслідок 2 (правило видалення середньої посилки). A(ВC), B ╞ AC.

Після двократного застосування правила МР дістаємо A(ВC), B, A ╞ C. Звідси за теоремою про дедукцію маємо A(ВC), B ╞ AC.

15.3. Приклади виведень у теорії l

Застосування теореми дедукції та її наслідків дуже спрощує побудову виведень у теорії L. Наведемо декілька прикладів таких виведень.

Теорема L4. ╞ AА

1. (А  А)  ((А  А)  А) А3

2. А  А L1

3. (А  А)  А наслідок 2 до 1,2

4. А  (А  А) А1

5. AА наслідок 1 до 3,4

Теорема L5. ╞ AА

1. (АА)  ((А  А)  А) А3

2. АА L4

3. (А  А)  А МР (2,3)

4. А  (А  А) А1

5. А  А наслідок 1 до 3,4

Теорема L6. ╞ А (АВ)  А,А╞ В.

1. А гіпотеза 1

2. А гіпотеза 2

3. (ВА)  ((ВА)  В) А3

4. A  (ВА) A1

5. A  (ВА) A1

6. ВА MP (1,4)

7. ВА MP (2,5)

8. (ВА)  В MP (3,5)

9. B MP (7,9)

Теорема L7. ╞ (AB)  (BA)  AB╞ BA.

1. AB гіпотеза

2. (АВ)  ((АВ)  А) А3

3. (АВ)  А МР (1,2)

4. В  (АВ) А1

5. BA наслідок 1 до 3,4

Теорема L8. ╞ (BA)  (AB)  BA╞ AB.

1. BA гіпотеза

2. ВВ L4

3. АА L5

4. ВА наслідок 1 з 1,2

5. ВА наслідок 1 з 3,4

6. (ВА)  (АВ) L7

7. АВ МР (5,6)

Теорема L9. ╞ А  (В  (АВ))  А╞ В  (АВ).

1. А гіпотеза

2. ((АВ)  В)  (В  (АВ)) L8

3. А, АВ ╞ В правило МР

4. А ╞ (АВ)  В теорема дедукції до 3

5. (АВ)  В МР (1,4)

6. В  (АВ) МР (2,5)

Теорема L10. ╞ (АВ)  ((АВ)  В)  АВ, АВ╞ В.

1. АВ гіпотеза 1

2. АВ гіпотеза 2

3. (АВ)  (ВА) L8

4. (АВ)  (ВА) L8

5. ВА MP (1,3)

6. ВА MP (2,4)

7. (BA)  ((BA)  B) A3

8. (BA)  B MP (6,7)

9. B MP (5,8)