6.3. Властивості операцій

Деякі властивості операцій мають спеціальні назви. Нехай задана алгебра S; і a, b, cS; ◊, ; ◊, : SSS. Тоді

1. Асоціативність: (ab)c = a(bc).

2. Комутативність: ab = ba

3. Дистрибутивність зліва: a◊(bc) = (a◊b)  (a◊c).

4. Дистрибутивність справа: (ab)◊c = (a◊c)  (b◊c).

5. Поглинання: (ab)◊a = a.

6. Ідемпотентність (самопоглинання): aa = a.

Прикладами асоціативних операції є операція добутку та додавання чисел, об’єднання та переріз множин, композиція відношень. Неасоціативні операції: піднесення у степень, віднімання множин.

Комутативні операції: добуток та додавання чисел, об’єднання та переріз множин. Не комутативні операції: добуток матриць, композиція відношень, піднесення у степень.

Дистрибутивні операції: добуток відносно додавання чисел. Не дистрибутивні операції: піднесення у степінь дистрибутивно справа, але не зліва: ({ab}^c = a^cb^c, a^bc  a^ba^c).

Переріз поглинає об’єднання, об’єднання поглинає переріз. Добуток та додавання не поглинають один одного.

Ідемпотентні операції: об’єднання та переріз множин. Не ідемпонентні операції: добуток та додавання чисел.

6.4. Гомоморфізм та ізоморфізм алгебр

Алгебри з різними типами, очевидно, мають істотно різну будову. Якщо ж алгебри мають однаковий тип, то наявність у них подібності характеризується за допомогою понять гомоморфізму й ізоморфізму.

Означення 6.5. Нехай є дві алгебри A=S;₁,…,_m та B=T;₁,…, _m однакового типу. Якщо існує функція f: ST, така що

,

то кажуть, що f – гомоморфізм із А в В.

Зміст цієї умови в тому, що, незалежно від того, чи здійснено спочатку операцію _i в А, а потім виконано відображення f, або спочатку зроблено відображення f, а потім в В здійснено відповідну операцію _i, результат буде однаковим.

Наприклад, нехай A=N;+, B=N₁₀;+₁₀, де N₁₀ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а +₁₀ – добуток по модулю 10. Тоді f  a mod 10 – гомоморфізм із А у В.

Гомоморфізми, які мають додаткові властивості, мають спеціальні назви.

• Гомоморфізм, який є ін’єкцією, називається мономорфізмом.

• Гомоморфізм, який є сюр’єкцією, називається епіморфізмом.

• Гомоморфізм, який є бієкцією, називається ізоморфізмом.

• Якщо А=В, то гомоморфізм називається ендоморфізмом, а ізоморфізм називається автоморфізмом.

Теорема 6.2. Якщо існує ізоморфізм А на В, то є ізоморфізм В на А.

Доведення. Розглянемо довільну операцію  із сигнатури А і відповідну їй операцію  із сигнатури В. Маємо:

,

крім того, f – бієкція. Позначимо b₁=f(a₁),…, b_n=f(a_n), при цьому a₁=f ^–1(b₁),…, a_n=f ^–1(b_n). Тоді

.►

Якщо f: ST – ізоморфізм, то алгебри А та В називається ізоморфними і позначають так: АB. Якщо f зрозуміло з контексту, то пишуть A~B.

Наприклад, нехай Z - множина всіх цілих чисел, Z₂ – множина всіх парних чисел. Алгебри Z;+ і Z₂;+ - ізоморфні; ізоморфним є відображення f: n2n, причому 2(a+b) = 2a+ +2b. Оскільки Z₂Z, f – ізоморфізм Z;+ у себе. Відображення g: n(-n) для алгебри Z;+ є автоморфізмом. Для алгебри Z; відображення g не є автоморфізмом, оскільки (-a)(-b)  -(ab). Ізоморфізмом між алгебрами R₊; і R;+, де R₊ - додатна підмножина R, є відображення alog a.

Розглянемо алгебри S; та T;, де S={a,b,c,d}, T={,,,}, а бінарні операції  та  задано відповідними таблицями.

a b c d a c b b a b a d d b c d b b a d a a c c

                       

Відображення f: a, b, c, d є ізоморфізмом.

Перевірка умови означення 6.5 полягає ось у чому. В комірках (внутрішньої частини) першої таблиці замінюємо елементи множини S на елементи множини T відповідно до f і дістаємо ліву частину умови означення 6.5, тобто таблицю функції f_(x,y); в зовнішній частині другої таблиці виконуємо заміну й одержуємо праву частину умови означення 6.5; порівнянням утворених двох таблиць переконуємося, що вони задають одну й ту саму функцію. Справді, досить у першій таблиці перейменувати всі елементи множини S на елементи множини T і порівняти утворену із другою таблицею.

a b c d a     b     C     D    

b c a d b     c     a     d    

Теорема 6.3. Відношення ізоморфізму на множині однотипних алгебр є відношенням еквівалентності.

Доведення.

Рефлективність. АА, де f – тотожне відображення.

Симетричність. АB  BА.

Транзитивність. АB, ВС  АС. ►

Класами еквівалентності в розбитті за відношенням ізоморфізму є класи ізоморфних між собою алгебр.

Поняття ізоморфізму є одним із центральних понять, що надає змогу застосовувати алгебраїчні методи у різних галузях. Його сутність можна виразити наступним чином: якщо алгебри А та В – ізоморфні, то елементи й операції В можна перейменувати так, що В збігатиметься з А. З умови означення 6.5 випливає, що будь-яке еквівалентне співвідношення в алгебрі А зберігається в будь-якій ізоморфній їй алгебрі А’. Це дає змогу, одержавши такі співвідношення в алгебрі А, автоматично поширити їх на всі алгебри, ізоморфні А. Відомий у математиці вираз “розглядати об’єкти з точністю до ізоморфізму” означає, що розглядаються тільки ті властивості об’єктів, які зберігаються при ізоморфізмі, тобто є загальними для всіх ізоморфних об’єктів. Зокрема, ізоморфізм зберігає такі властивості: асоціативність, комутативність і дистрибутивність операцій.