6.2. Означення алгебри. Замкнення
Означення 6.1. Якщо справджується внутрішній закон композиції SnS, то функцію типу : SnS будемо називати n-арною операцією на множині S; n – арність операції . Множина S разом із заданою на ній сукупністю операції ={1,…, m}, тобто система A={S;} (або A={S; 1,…, m }), називається алгеброю; S – основою або носієм алгебри А. Вектор арностей операцій алгебри є її типом, сукупність операції - сигнатурою.
Алгебра, таким чином, записується як S; або S; 1,…, m. Операції i скінечнномісні, сигнатура скінчена. Носій не обов’язково скінчений, але не порожній.
Часто використовується наступне узагальнене означення алгебри. Нехай S={S1,…,Sn} – множина носіїв, ={1,…, m} – сигнатура, де i: Si1…SinSj. Тоді S; називається багатоосновною алгеброю. Іншими словами, багатоосновна алгебра має декілька носіїв, а операції сигнатури діють із прямого добутку деяких носіїв на деякий носій.
Означення 6.2. Підмножина XS називається замкненою відносно операції , якщо
x1,…,xnX | ( x1,…,xn) X.
Якщо X замкнена відносно всіх , то X;X називається підалгеброю S;, де X – множина операцій 1,…, m, які розглядаються як операції над X.
Наприклад, множина дійсних чисел з операціями додавання і добутку R;+, - алгебра. Обидві операції є бінарними, тому тип цієї алгебри (2,2). Усі скінченні підмножини R, крім {0}, - не замкнені відносно обох операції. Підалгеброю цієї алгебри є, наприклад, множина раціональних чисел із тими самим операціями Q;+,.
Алгебра B=P(U);,,
називається булевою алгеброю множин
над U. Її тип (2,2,1).
Елементами основи цієї алгебри є множини
(підмножини U). Для будь-якого
XU
C=P(X);,,
є підалгеброю B. Наприклад,
якщо U={a,b,c,d},
то основа алгебри В містить 16 елементів;
алгебра P({a,c});,,
- підалгебра B, її основа
містить чотири елементи.
Алгебра гладких функцій {
f | f:
RR};
,
де
- операція диференціювання. Множина
елементарних функцій є замкненою
відносно диференціювання, оскільки
похідні елементарних функції –
елементарні й, отже, утворює підалгебру
цієї алгебри.
Розглянемо квадрат із вершинами в точках a1, a2, a3, a4, занумерованих проти руху стрілки годинника, і повороти квадрата навколо центра в тому самому напрямку, що переводять вершини у вершини. Таких поворотів є нескінченна множина: на кути 0, /2, , 3/2, 2, 5/2,…, однак вони задають усього чотири різних відображення множини вершин у себе, які відповідають першим чотирьом поворотам. Таким чином, маємо алгебру з основою {a1, a2, a3, a4} та чотирма унарними операціями , , , . Їх можна задати у вигляді таблиці:
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
|
a2 |
a2 |
a3 |
a4 |
a1 |
|
a3 |
a3 |
a4 |
a1 |
a2 |
|
a4 |
a4 |
a1 |
a2 |
a3 |
Операція , що відображає будь-який елемент у себе, називається тотожною. Вона відповідає нульовому повороту. Підалгебр у цій алгебрі немає.
Теорема 6.1. Непорожній переріз підалгебр утворює підалгебру.
Доведення. Нехай Xi;Xi - підалгебра S;. Тоді
.►
Означення 6.3. Замкнення множини XS відносно сигнатури (позначається [X]) називається множина всіх елементів (включаючи самі елементи X), які можна отримати з X, застосовуючи операції з . Якщо сигнатура зрозуміла, то її можна не вказувати.
Наприклад, в алгебрі цілих чисел Z;+, замиканням числа 2 є парні числа, тобто [{2}]={nZ | n=2k, kZ}.
Властивості замкнення:
-
XY [X] [Y]
-
X [X]
-
[[X]] = [X]
-
[X][Y] [XY]
Нехай A=S; - деяка алгебра і X1,…,XnS – деякі підмножини носія, а - одна з операцій алгебри. Тоді використовується наступна угода про позначення:
(X1,…,Xn) {(x1,…,xn) | x1X1,…, xnXn},
тобто алгебраїчні операції можна використовувати не тільки до окремих елементів, але й до множин (підмножин носія), отримуючи, відповідно, не окремі елементи, а множини (підмножини носія).
Означення 6.4. Множина XS називається системою твірних алгебри S;, якщо [X]=S. Якщо алгебра має скінчену систему твірних, то вона називається скінченно-породженою. Нескінченні алгебри можуть мати скінчені системи твірних.
Наприклад, алгебра натуральних чисел N;+ має скінчену систему твірних 1N.