3.4. Композиція відображень

Означення 3.8. Якщо f : A  В, g : B  C, то їх композиція (gf): A  C, причому (gf)(а) = g(f(а)). Іншими словами, якщо існує множина пар (а,b)f та (b,c)g, то множина пар (а,с)fgутворює композицію (gf).Запис (gf) проводиться в порядку, який є зворотнім до того, в якому виконується операції f : A  В, g : B  C. Таким чином, в математиці прийнято правило, згідно з яким композицію відображень (gf) треба починати з виконання операції f, яка розташована справа.

Наприклад, якщо f = sin, g = ln, то (gf)(а) = (lnsin)(a) = ln(sin(a)).

Легко показати, що композиція відображень асоціативна, тобто (hg)f = h(gf) і записується у вигляді hgf. Так само легко з’ясувати, що композиція відображень не комутативне (це випливає з означення композиції відображень).

Теорема 3.2. Функція f є взаємно однозначним функціональним відношенням тоді і тільки тоді, коли f ^–1 – взаємно однозначне відношення.

Доведення. Доведемо, що f ^–1 – функція. Нехай (b,a₁)f ^–1, (b,a₂)f ^–1. за означенням оберненого відношення маємо (a₁,b)f, (a₂,b)f. Оскільки f за умовою є взаємно однозначною функцією, дістанемо a₁ = a₂, а це означає, що f ^–1 – функціональне відношення. Покажемо, що f ^–1 – взаємно однозначне функціональне відношення. Нехай (b₁,a)f ^–1, (b₂,a)f ^–1. Це означає, що (a,b₁)f, (a,b₂)f. Оскільки f – функція, маємо b₁ = b₂, а це означає, що f ^–1 є взаємно однозначним функціональним відношенням. Таким чином, необхідну умову теореми доведено. Читачеві пропонуємо показати, що таким чином доведено також її достатню умову. ►

Теорема 3.3. Композиція двох функціональних відношень є функціональним відношенням.

Доведення. Нехай f : A  В, g : B  C. За означенням композиції відношень h = (gf) = {(a,c) | ((a,b)f та (b,c)g}. Отже, це за означенням – підмножина декартового добутку АС. Доведемо, що h–функціональне відношення. Нехай задано дві пари, які належать h:

Оскільки f – функціональне відношення, маємо b₁=b₂, а оскільки g – функціональне відношення, дістаємо c₁=c₂. Отже h – функціональне відношення. ►

Теорема 3.4 (без доведення). Нехай f : AВ, g :BC. Тоді

а) якщо f і g – сюр’єкції А на В та В на С відповідно, то gf є сюр’єкцією А на С. Іншими словами, композиція двох сюр’єкцій – сюр’єкція.

б) якщо f і g – ін’єкції, то gf є ін’єкцією. Іншими словами, композиція двох ін’єкцій – ін’єкція.

в) якщо f і g – бі’єкції, то gf є бі’єкцією. Іншими словами, композиція двох бі’єкцій – бі’єкція.

Для багатомісних функції f : A^m  В, g : Bⁿ  C можливими є різні варіанти підстановки f у g, які дають функції різних типів. Наприклад, при m=3, n=4 функція h₁=g(b₁,f(a₁,a₂,a₃),b₃,b₄) має шість аргументів і діє з BA³B²C, а функція h₁=g(f(a₁,a₂,a₃),f(d₁,d₂,d₃),b₃,b₄) має вісім аргументів та діє з A⁶B²C. Особливо цікавим є випадок, коли задано множину функцій типу f_i : . У цьому разі може виконане будь-яке перейменування аргументів, наприклад, перейменуванняa₃ в a₂, що породжує з функції f(a₁,a₂,a₃,a₄) функцію трьох аргументів f(a₁,a₂,a₂,a₄).

Означення 3.9. Функція, що утворюється з функцій f₁, f₂,..., f_n деякою підстановкою їх одна в одну і перейменуванням аргументів, називається суперпозицією f₁, f₂,..., f_n.

Наприклад, у функції f₁(a₁,a₂,a₃) = a₁+2a₂+7a₃ перейменування a₃ в а₂ приводить до функції f₁(a₁,a₂,a₂) = a₁+2a₂+7a₂ = f₂(a₁,a₂) = a₁+9a₂. Перейменування а₁ та а₃ в а₂ приводить до одномісної функції f₃(a₂) =10a₂.