24.4. Властивості матриць графів

Багато інформації відносно графа G можна представити в зручній формі, використовуючи матриці, відповідні графу G. Матрицю суміжності (G) графа G можна використовувати для підрахування кількості різних маршрутів (шляхів для орграфів) у G. Сама матриця  задає ребра G, тобто маршрути довжиною 1. Виявляється, що матриця ^k (k-степінь ) задає число маршрутів довжини k.

Теорема 24.1. Елемент (i, j) = _ij^(k) матриці ^k графа G дорівнює кількості маршрутів довжини k з v_i у v_j.

Доведення. Методом індукції по довжині k. Для k=1 теорема очевидна: матриця суміжності задає маршрут довжиною 1. Нехай для деякого k теорема вірна, тобто елемент _ij^(k) матриці ^k дорівнює кількості маршрутів довжини k з v_i у v_j. Доведемо її для k+1. Довільний маршрут довжини k+1 з v_i у v_j складається з ребра, яке прямує з v_i у суміжну з нею вершиною v_r, а потім маршруту довжини r з v_r у v_j. Кількість маршрутів довжини r+1 з v_i у v_j, які проходять на першому кроці через v_r, дорівнює _ir_rj^(k) (якщо ребро з v_i у v_r немає, то _ir = 0 і _ir_rj^(k) = 0, а якщо таке ребро є, то _ir_rj^(k) = _rj^(k) , тому що _ir = 1). Загальна кількість маршрутів довжини k+1 з v_i у v_j отримаємо, якщо просумуємо цю величину по всім r: . Ця сума дорівнює елементу (i,j) добутку матриці  та ^k, тобто елементу (i,j) матриці ^k+1, що й доводить теорему. ►

Наслідок. Елемент (i,j) матриці +²+…+^k графа G дорівнює кількості всіх маршрутів довжини не більше за k з v_i у v_j.

Ця теорема справедлива як для неорієнтованих, так і для орієнтованих графів. Наприклад, на рис. 24.3 наведено орграф та його матриці суміжності , ², ³ та ⁴.

v2

Рис. 24.3.

Корисною виявляється нова матриця – матриця відстаней D=||d_ij||, де d_ij = d(i,j) – відстань від v_i до v_j, яка визначається як довжина найкоротшого маршруту з v_i у v_j. (Нагадаємо, що величина d_ij не визначена, якщо маршрут з v_i у v_j не існує).

Теорема 24.2. Нехай граф G має матрицю суміжності  та матрицю відстаней D. Тоді, якщо величина d_ij, ij, визначена, то вона дорівнює найменшому k, для якого елемент (i,j) в ^k, тобто _rj^(k), не дорівнює 0.

Доведення пропонується провести самостійно.

Слідуючи цій теоремі, можна побудувати матрицю відстаней, послідовно підводячи у степінь матрицю суміжності графа. Побудуємо матрицю відстаней для графа з рис. 24.3.

1. Матриця відстаней має нулі на головній діагоналі та спочатку співпадає з матрицею суміжності, тобто вона містить всі маршрути довжиною 1. Інші елементи матриці відстаней поки що не визначені.

2. Матриця ² вказує на всі маршруті довжиною 2. Невизначеним елементам матриці відстаней ||d_ij|| присвоюється значення 2, якщо _rj⁽²⁾  0.

3. Тим елементам ||d_ij||, які ще не визначені, присвоюємо значення 3, якщо елементи ³ _rj⁽³⁾  0.

Тепер матриця відстаней повністю визначена.

1)

2)

3)

Теорема 24.3. Для того, щоб n-вершиний граф з матрицею суміжності  мав хоча б один цикл, необхідно й достатньо, щоб матриця K = ²+…+^k мала хоча б один не нульовий діагональний елемент.

Матриця досяжності R(G) = ||r_ij|| визначається наступним чином: r_ij = 1, якщо v_j є досяжною з v_i, і r_ij = 0 в протилежному випадку. Довільна вершина досяжна сама із себе, тому r_ii = 1 для всіх і. Матриця досяжності може бути отримана за допомогою матриці суміжності.

Теорема 24.4. Нехай  - матриця суміжності і R – матриці досяжності графа G з n вершинами. Тоді

R = B(I +  + ² + … + ^n-1) = B[(I + )^n-1],

де B – булеве перетворення (B: N {0,1}; B(x) = 0, якщо x=0, та B(x) = 1, якщо x>0), а I – одинична матриця.

Доведення. Дійсно, якщо v_j є досяжною з v_i, то існує простий ланцюг з v_i у v_j. Довжина цього маршруту не перебільшує n-1, оскільки у простому ланцюгу вершини не повторюються. Відповідно, елемент матриці I +  + ² + … + ^n-1 буде ненульовим, звідки й слідує теорема. ►

У наступній теоремі показано застосування матриці досяжності як метода визначення зв’язності орграфів.

Теорема 24.5. Нехай орграф G має матрицю досяжності R та матрицю суміжності . Тоді:

1. G сильно зв’язан тоді й тільки тоді, коли R = J, де J – одинична матриця.

2. G однобічно зв’язан тоді й тільки тоді, коли B(R + R’) = J, де R’ – транспонована матриця R;

3. G слабо зв’язан тоді й тільки тоді, коли B[(I +  + ’)^n-1] = J, де ’ – транспонована матриця .