Арифметичні основи комп’ютера
Основним об'єктом обробки в ПК є дані. Дані розрізняються типами, що пов'язано з різною їхньою природою (числа, символи, графічні зображення, звуки, тощо).
Для автоматизації роботи з різнотипними даними важливо уніфікувати їхню форму представлення. Для цього використовуються різноманітні прийоми кодування, зокрема, вираження даних одного типу через дані іншого типу.
Загальні відомості про системи числення
В питаннях організації обробки інформації за допомогою ПК важливе місце займають системи числення.
Під системою числення розуміють спосіб представлення числа за допомогою обмеженої кількості цифр і літер та правила виконання арифметичних дій над цими числами.
Розрізняють позиційні та непозиційні системи числення.
Внепозиційнійсистемі числення число визначається тільки набором цифр (літер), які в нього входять. Кількісне значення кожної цифри у такій системічислення не залежить від займаної нею позиції (місця) у ряді цифр, що зображують число, а визначається лише самою цифрою (символом). Значення числа у непозиційній системі числення можна представити наступним чином:
де
—
запис числа
в системі числення
;
—
символи системи, що створюють базу:
Прикладом такої системи є римськасистема числення (324 = СССХХІV).
В позиційнійсистемі числення значення числа визначається як набором цифр (літер), так і їхньоюпозицією в числі. Будь-яка позиційна система числення характеризується основою (базисом)q.Основа позиційної системи числення- максимальна кількістьцифр талітер, що використовуються для представлення числа в даній системі.
У позиційній системі числення значення числа, що має зображення
хn-1 хn-2 …х1 х0, х-1 х-2 …х-m
представляється у вигляді наступної суми:
,
де X(q) – запис числа в системі числення з основою q; n – загальна кількість розрядів (позицій) у цілій, а m – у дробовій частині числа; хі – цифра і-го розряду (0 хі q-1); qі – вага і-го розряду числа.
Наприклад: 4295, 6731(10) = 4 103 +2102+ 9101 +5100 +610-1 + 710-2+ 110-4.
Системи числення, застосовувані в комп’ютерах
Непозиційні системи числення не придатні для застосування в комп’ютерах, у силу своєї громіздкості й складності виконання арифметичних операцій. Тому в інформатиці використовуються тільки позиційні системи числення.
Основною системою числення, у якій виконуються всі арифметичні і логічні перетворення інформації в комп’ютерах, є двійковасистема числення.
Оскільки 23=8, а 24=16, то кожних три двійкових розряди зображення числа утворюють один вісімковий, а кожних чотири двійкових розряди - один шістнадцятковий. Тому для скорочення запису адрес та вмісту оперативної пам'яті комп'ютера використовуютьшістнадцятковуйвісімковусистеми числення.
У вісімковій системі числення для представлення чисел використовується 8 цифр: 0, 1 ... 7 (q = 8), в шістнадцятковій - алфавіт включає 16 символів: 0, 1 ... 9,А,В,С,D,Е,F(q = 16).
Нижче в таблиці 1 наведені перші 22 натуральних числа, записані в десятковій, двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах числення.
Таблиця 1.
-
10
2
8
16
10
2
8
16
0
0
0
0
12
1100
14
С
1
1
1
1
13
1101
15
D
2
10
2
2
14
1110
16
E
3
11
3
3
15
1111
17
F
4
100
4
4
16
10000
20
10
5
101
5
5
17
10001
21
11
6
110
6
6
18
10010
22
12
7
111
7
7
19
10011
23
13
8
1000
10
8
20
10100
24
14
9
1001
11
9
21
10101
25
15
10
1010
12
A
22
10110
26
16
11
1011
13
В
...
...
...
...