32

Практичне заняття 1.

1. Общее представление о физическом моделировании

Понятие модели

В науке под моделью понимают объект (явление, система, установка, знаковое образование, находящееся в отношении подобия к моделируемому объекту.

Под подобием понимают взаимно - однозначное соответствие между двумя объектами.

Например, для механических явлений макромира известные законы механики Ньютона являются математической моделью.

Вопрос. Зачем нужно моделирование?

Построение любых моделей связано с процессом познания.

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект в форме мысленного образа, описание знаковыми средствами (формулы, графики и др.), материального предмета, отражающего свойства, характеристики и связи объекта, существенные для решаемой задачи.

Т. е. модель представляет собой следующую конструкцию

Вопрос. Сколько моделей может существовать для одного объекта?

Множество различных моделей связанных с различными задачами. Модель всегда беднее оригинала. Важным свойством модели является наличие ограничений и допущений, связанных с решаемой задачей и свойствами объекта – оригинала, ресурсами для решения задачи.

Этапы построения модели.

Важно отметить, что центральным моментом построения является задача, весь процесс достигается методом последовательных приближений.

Основным методом исследования физических объектов в данном курсе будет являться математическое и численное моделирование, т. е. описание исследуемой системы или процессов в виде различных математических соотношений и подсчет численных значений тех характеристик, которые нас интересуют. При построении модели в пункте 3 можно выделить 3 основных пути преодоления затруднения, возникающих при идеализации модели:

1. Разделение сложной системы на совокупность простых подсистем .

2. Переход к иной идеализации (приближению). Например, от распределенных параметров к сосредоточенным.

3. Сокращение числа переменных, используя основные положения теории подобия и создавая безразмерные комплексы. Добавим еще практические приемы: снижение размерности задач (3-х мерная переходит в 2- х и т. д.)

4. Разработка детерминированных моделей вместо стохастических; замена переменных константами, идеализация свойств среды (идеальный газ, жидкость); усреднение свойств по объему и направлению; использование линейных зависимости вместо нелинейных (линеаризация).

Классификация математических моделей.

Модель, которую предстоит создать, очень важно классифицировать. Это облегчает выбор существенных признаков исследуемого объекта, математического аппарата для его описания, метода построения модели. Рассмотрим один из вариантов классификации по Нейману Я. Г. (Модели в науке и технике. Л. Наука, 1984), где объекты моделирования рассматриваются в соответствии с их попарно - противоположными свойствами.

Непрерывные (континуальные) - входные и выходные параметры непрерывны. При математическом описании описываются (гл. образом) дифференциальным, интегральным, интегрально- дифференциальным уравнениями. Стационарные - по степени изменчивости во времени постоянство основных параметров во времени.

Дискретные- могут принимать конечное число известных значений. При описании используют: математическую логику, теорию автоматов – раздел теории управляющих систем, изучающий модели преобразователей дискретной информации. Нестационарные- изменение параметров во времени.

Понятие динамики связывают с условиями протекания процессов, при которых проявляются инерционные эффекты, определяемые скоростью изменения запасов энергии и вещества, аккумулируемых объектом во времени. В динамических системах состояние системы в данный момент связано с воздействиями, действующими на нее и в данный момент, и в предшествующие (их последствия).

Связанные с последствием динамические эффекты присущи и механической форме движения, и процессом диффузии, теплопереноса.

Формально последствие отражается путем задания краевых условий в соответствующих дифференциальных уравнениях.

По характеру пространственной структуры
Модели с сосредоточенными параметрами используются средние значения входных характеристик объекта, локализованных в отдельных узлах подсистем. Модели описываються алгебраическими, трансцендентными либо обыкновенными дифференциальными уравнениями.	Модели с распределенными параметрами входные и выходные характеристики зависят от координат. В математической модели обязательно присутствуют пространственные координаты (дифференциальные уравнения в частных производных).
По размерности
Одномерные, с одним входным параметром.	Многомерные - имеют N входных параметров. Если система имеет еще и несколько выходных параметров, то в общем случае каждый выход зависит от нескольких переменных, многомерная модель еще и многосвязная.

По степени линейности объекта
Линейные объекты Среди коэффициентов, входящих в его математическое описание, отсутствуют величины, зависящие от входных переменных, их производных и интегралов. Если k не зависят и отt, то объект описывается линейной стационарной моделью.	Нелинейные объекты- - наличие зависимых коэффициентов.

Можно сказать, что жизнь принципиально нелинейна, однако при создании математических моделей часто удается ввести приближения, при которых удается с высокой точностью описывать систему с помощью линейных уравнений.

По математическим методам решения поставленной задачи
Аналитические модели Объект описан на основании известных физических законов, исследование ведется математическими методами, позволяющими получить аналитическое решение поставленной задачи.	Численные математические модели Для получения решений используют численные методы и в этом случае если задачатрудно поддается или вовсе не поддается аналитическому решению.

По вероятностному характеру модели
Детерминированные (причинно- следственные)	Стохастические (вероятностные)