5.1. Варіаційне числення

В рамках варіаційного числення вивчаються методи знаходження функціоналів. Нехай - множина функцій, кожній функції, яка належить, поставлено у відповідність певне число, це означає, що на множинізадано функціонал. Найпростішим прикладом функціонала є такий інтеграл:

, (5.1)

визначений для всіх функцій , неперервних на відрізку числової осі. Іншим прикладом функціонала є довжиналінії рівняння якої,,

(5.2)

де - множина функцій, визначених і неперервних на ньому разом з першою похідною на відрізку.

Ми розглядатимемо функціонали типу

(5.3)

де - перша похідна функції. Для функціїмають місце рівності:

. (5.4)

Задача формулюється так: знайти функцію , яка доставляє екстремум функціонала (6.3) за умови обмежень (6.4). У варіаційному численні отримують рівняння для знаходження екстремалей – допустимих кривих, на яких функціонал досягає екстремуму.

Приклад

На осі задані дві точкиА таВ координатамиА(а, 0),В(в, 0). Знайти рівняння кривої із заданою довжиною, яка з’єднує ці точки, таку, щоб площа, обмежена цією кривою та віссю, була максимальною.

Математичне формулювання цієї задачі таке: знайти функцію , таку, яка дає максимум інтегралу

за умови обмежень

Перше обмеження означає, що початок і кінець кривої повинні знаходитися, відповідно, в точках АтаВ, а друге – довжина кривої становить. Якщо функціоналдосліджується на екстремум а функціяє «підозрілою» як «точка» екстремуму, то значення функціоналазіставляється з його значеннями на певній множині функцій, які називаються функціями порівняння, до якої належить також

Якщо має місце мінімум (максимум) за умови, то додатна (від’ємна) різниця

|| <,

для всіх х, які належать області визначення функції.

Околом першого порядку, чи слабким околом, називається множина кусково-гладких функцій порівнянь , таких, що за умови певногомає місце:

|| +||.

Мінімум (максимум) функціонала , який досягається нав її сильному (слабкому) околі, називається сильним (слабким) мінімумом (максимумом) функціонала

Всякий сильний екстремум є в той же самий час також слабким екстремумом. Сильний та слабкий екстремуми є відносними екстремумами. Екстремум функціонала за всією сукупністю функцій, на яких він визначений, називається абсолютним екстремумом. Абсолютний екстремум є в той же час і відносним. В процесі постановки задач варіаційного числення слід вказувати, якого типу екстремум слід знаходити. Загальною задачею варіаційного числення є задача максимізації чи мінімізації функціонала типу

,

де пов’язані диференціальним рівнянням:

. (5.5)

Ще більш загальною є задача максимізації чи мінімізації виразу:

де підпорядковано (6.5). Ця задача називається задачею Больца, а задача знаходження екстремуму функцій в точці:

задачею Майєра.

Нехай означає мінімізуючи функцію, яка дає відносний мінімум. Якщо- будь-яка «близька» до неї функція, то

Двома найбільш важливими умовами мінімуму є:

1. Умова Вейєрштрасса. Нехай- функція, відмінна від екстремальної функціі, а- її похідна, тоді повинна виконуватися нерівність

Ліва частина цієї нерівності називається функцією Вейєрштрасса і позначається .

2. Умова Лежандра. Для того, щоббула мінімізуючою функцією, повинна виконуватися нерівність

,

що в аналізові відповідає звичайній умові на другу похідну.

Іноді у варіаційних задачах на екстремальну функцію накладають умови (обмеження) на кінцях, типу

.

Частіше обмеження задається на лівому кінці інтервала, а умова на правому кінці включається до самої варіаційної задачі. Часто зтикаються з задачею максимізації (мінімізації) функціонала за умови інтегрального обмеження типу

, (5.6)

що в додатках означає обмеженість певного ресурсу. За різних умов можна застосувати метод множників Лагранжа і розглядати нову задачу знаходження екстремуму функціонала

.

Таким чином маємо видозмінене рівняння Ейлера

,

де - стала, яка підлягає визначенню з використанням співвідношення (5.6).

Приклад

Нехай та- задані точки на площині, необхідно знайти рівняння кривої, яка з’єднує ці дві точки, яка за умови обертання навколо осіутворює мінімальну поверхню обертання.

Розв’язок

Необхідно знайти вираз функції , яка дає екстремум інтегралу

.

На підінтегральну функцію накладено два обмеження:

1)має неперервні частинні похідні за:

2)задовольняються крайові умови

.

Необхідною умовою для , яка максимізує (мінімізує), є умова, щоб функціязадовольняла рівняння Ейлера:

,

Яке можна записати таким чином:

.

Таким чином, слід мінімізувати вираз:

,

Підпорядкований обмеженням, пов’язаними з крайовими нмовами. За умов прикладу

.

Рівняння Ейлера після спрощення матиме вигляд:

.

Загальний розв’язок цього диференціального рівняння має вигляд

.

Потрібний розв’язок отримується після визначення довільних сталих з крайових умов.

У випадку потреби знаходження та, які максимізують (мінімізують) інтеграл

,

де - незалежні змінні;- двовимірна область на площині, то необхідною умовою екстремуму є два диференціальних рівняння другого порядку в частинних похідних

,

.

Перший член першого рівняння можна записати у вигляді:

.