4.1. Стохастичні системи

Модель системи називається стохастичною, якщо кожній реалізації її вхідного сигналу відповідає певний розподіл вихідного сигналу цієї системи. Для однієї і тієї ж системи можна побудувати багато різноманітних моделей. В залежності від ступеня детальності характеристики поведінки системи та кількості факторів, які враховуються, одні моделі будуть простішими, інші – складнішими. Із збільшенням кількості факторів модель стає більш складною, більш повно і точно вона описуватиме поведінку системи. Проте, внаслідок обмеженості доступної інформації, неточності вхідних даних, які використовуються в процесі застосування моделі, надмірно складна модель може виявитися менш точною, порівняно з більш простою моделлю. В зв’язку з цим ступінь складності прийнятої моделі повинна бути узгодженою з доступною інформацією, яку можна використати для побудови і застосування моделі.

Основною характеристикою системи є її оператор, який визначає механізм формування вихідного сигналу за даним вхідним сигналом. Оператор детермінованої системи ставить у відповідність кожному вхідному сигналу один певний вихідний сигнал, тобто оператор детермінованої системи відображає простір вхідних сигналів в простір вихідних сигналів. Оператор стохастичної системи ставить у відповідність кожному вхідному сигналу певний розподіл вихідного сигналу, цей розподіл залежить від вхідного сигналу. Тобто оператор стохастичної системи відображає простір вхідних сигналів в простір всіх можливих розподілів на просторі вихідних сигналів. За сутністю вхідні та вихідні сигнали неперервної системи є неперервними обмеженими функціями часу, тому оператор детермінованої системи відображає простір неперервних функцій в такий же простір.

Нехай - вхідний сигнал детермінованої системи, яких є- вимірною векторною функцією часу,- вихідний сигнал – неперервна- вимірна векторна функція. Позначимо буквоюоператор системи, тоді співвідношення між вхідним та вихідним сигналами детермінованої системи можна записати у вигляді:

(4.1)

Такий короткий запис включає всю сукупність математичних операцій, які слід виконати над функцією , щоб визначити функцію. Детермінована система називаєтьсяфізично можливою, якщо значення її вхідного сигналув кожний момент часує функціоналом від вхідного сигналуза умови, тобто значення вихідного сигналу фізично можливої системив кожний моментє функціоналом від вхідного сигналу, заданого в інтервалі часу. Стохастична системи називаєтьсяфізично можливою, якщо розподіл значення її вихідного сигналув будь-який момент часуне залежить від значення вхідного сигналу, за умови.

Детермінована система називається стійкою в даному режимі, якщо змінаїї вихідного сигналув цьому режимі залишається як завгодно малою за умови достатньо малої змінивхідного сигналу, тобто детермінована система називається стійкою в даному режимі якщо за умови будь-якогодля даного режиму існує таке, що ||для всіх, якщо ||для всіх. Для випадку векторнихприймається, що ||||

Стохастична система називається стійкою в даному режимі майже напевно (з імовірністю 1), якщо зміна її вихідного сигналув цьому режимі як завгодно мала з імовірністю 1 за умови будь-якої як завгодно малої зміни вхідного сигналу.

Стохастична система називається стійкою в даному режимі за імовірністю, якщо для будь-якогоіснує таке, що

_→∞|| (4.2)

для всіх , які задовольняють умову||.

Стохастична система називається стійкою в даному режимі в р-середньому,р>0, якщо математичне сподіванняМ||^рв цьому режимі залишається як завгодно малим для всіх достатньо малих змінах вхідного сигналу. З нерівності Чебишева

||||^р/(4.3)

випливає, що стохастична система стійка за імовірністю, якщо вона стійка в р-середньому.Точно таким же чиноміз стійкості майже мабуть випливає стійкість за імовірністю. З р-стійкості, за умови даного р, випливає р-стійкість для всіх менших р. Обернене в загальному випадку не є вірним. На практиці найбільшу роль відіграє стійкість майже мабуть. Часто обмежуються стійкістюв середньому (р=1) тастійкістю в середньому квадратичному (р=2). Клас систем, стійких в середньому квадратичному, та клас систем, стійких майже мабуть, є підкласами класу систем, стійких за імовірністю, обидва ці класи мають непорожній перетин.