3.7.4. Лінійний багатовимірний регресійний аналіз

Вище мова йшла лише про лінійні залежності, один з прийомів боротьби з нелінійностями полягав у зведенні задачі до багатовимірного лінійного випадку. Проте є окремі випадки, коли можливе простіше дослідження. Якщо з діаграми спостережень випливає, що лінія регресії не може бути прямою лінією, можна спробувати описати її з використанням ступеневої залежності, практично розглядаються лише квадратична та кубічна залежності. Тоді зручно залежність зображати у вигляді розкладу за ортогональною системою поліномів Чебишева. Оцінки невідомих параметрів знаходяться з використанням методу найменших квадратів. Якщо квадратична залежність незадовільно описує регресійну криву, пошуки проводяться в ширшому класі функцій, оскільки часто, шляхом простих перетворень, криву регресії можна зобразити як лінійне співвідношення між перетвореними величинами типу Це, зокрема, функції гіперболічного типу:

показникового типу:

логарифмічного типу

ступеневого типу:

та ін., з числом параметрів, не більше двох. В загальному випадку, коли рівняння кривої регресії містить більшу кількість параметрів, слід скористатися методами зведення до задачі багатовимірного лінійного регресійного аналізу, який має дещо спільне з одновимірним. Вважаємо, що певні досліджувані процеси

задаються послідовністю значень в дискретні моменти часу і далі нехай

(3.54)

(3.55)

де - вхідні величини, а- вихідні.

Розглянемо задачу визначення рівняння лінійної регресії, де складна система має один вихід та входи Вважаємо, що існує така залежність:

|(3.56)

Задача полягає в перевірці правомірності припущення про наявність залежності типу (3.56) та знаходженні оцінок коефіцієнтів рівняння (3.56) , які дають:

Перед дослідженням рівняння (3.56), слід виключити з (3.54), (3.55) явні «викиди» - такі значення величин, які не відповідають реальному процесові. Вони можуть з’явитися внаслідок нестабільного функціонування вимірювальної апаратури, ненадійності деяких елементів системи, та ін. Для перевірки значущості кореляції між виходомта входами).

Після перевірки значущості коефіцієнтів рівняння регресії досліджується без тих, для якихнезначно відрізняється від нуля. Крім того, оцінюється кореляціяміж параметрамита. Якщоталінійно пов’язані між собою, то один з цих параметрів нічого істотного, порівняно з іншими, не вносить до рівняння, а до рівняння регресії можна включити тільки один з цих параметрів. При розрахунку коефіцієнтів рівняння (3.56) для зручності обчислень доцільно перейти до нових зміннихта:

,

де - оцінка дисперсій величин- оцінки середніхта.

Після заміни змінних матимемо лінійне рівняння регресії в нових змінних;

де - - нові коефіцієнти рівняння регресії, які однозначно пов’язані з коефіцієнтамитакими залежностями:

,

Коефіцієнти знаходяться з системи рівнянь:

………………………………………….

Для того, щоб встановити правомірність припущення про лінійність залежності виходу від входіввизначається коефіцієнт множинної кореляціїза формулою:

В залежності від кількості параметрів та розміру їх реалізації з використанням диференціальної функції розподілу Фішера та перетворення за Стьюдентом встановлюється наявність чи відсутність значущості коефіцієнта множинної кореляціїта коефіцієнтів рівняння регресії. Якщозначущим чином відрізняється від нуля, тоді лінійний зв’язок існує, а припущення про лінійність зв’язку (3.56) між вхідними та вихідними параметрами системи справджується. В цьому випадку оцінюються коефіцієнти регресіїта, якщо якийсь з них незначним чином відрізняється від нуля, то відповідний параметрвідкидається з рівняння регресії.