3.7. Статистичні методи обробки спостережень

Задача, яка передує моделюванню системи, полягає у вивченні поведінки реального об’єкта, що моделюється, та його опис. Універсальний засіб вирішення цієї задачі полягає в спостереженні за станом виходів системи в різні моменти часу, в залежності від станів входів. Об’єктивний аналіз зв’язку між відповідними величинами базується на статистичних методах, оскільки результати наших спостережень за входами та виходами системи повинні розглядатися як випадкові і пояснюватися похибками вимірювання. В найпростішому випадку може бути один вхід та один вихід, це – випадок одномірних величин. В цьому випадку ціль дослідження слід розуміти наступним чином: як за значеннями вхідної змінної (аргументу) передбачити відповідні, усереднені чи найбільш вірогідні, значення вихідної змінної чи функції.

Існують різні методи розв’язування цієї задачі, які залежать від характеристик спостережень та від мети досліджень. Розглянемо методи регресійного, кореляційного, конфлюентного та лінійного багатовимірного аналізу.

3.7.1. Регресійний аналіз

В схемі регресійного аналізу вважається, що незалежна змінна є невипадковою величиною, значення якої задаються завчасно, перед початком спостережень за системою; залежна зміннає випадковою величиною. Це може бути з таких двох причин:

1) величина вимірюється без похибок, або ними можна знехтувати, а в процесі вимірюванняє випадкові похибки;

2) величина залежить не тільки від, але й від низки неконтрольованих факторів.

Інтерес представляє лише середнє значення за умови заданого, (- математичне сподівання, тобто функціональна залежність середнього значеннявідмає вигляд:В регресійному аналізі тип функції вважається відомим, за заданими результатами спостереження можна знайти оцінки для невідомих параметрів

На площині рівнянняза умови фіксованихвизначає певну криву, яка називаєтьсятеоретичною кривою регресії.При вивченні зв’язку між величинами з використанням регресійного аналізу виникають наступні задачі: яким чином, найточніше в певному, завчасно означеному сенсі, провести криву регресії, якщо відомі результати спостережень та гіпотеза про тип; яким чином оцінити ступінь точності; яким чином побудувати довірчі інтервали та границі, попадання в які емпіричних окремих, чи середніх, значеньпри кожному фіксованомугарантували б з наперед заданою імовірністю. Обґрунтування застосування регресійного аналізу вимагає виконання таких передумов:

1. при кожному значенні величинарозподілена за нормальним законом;

2. дисперсія |величинає сталою (|або ж пропорційна відомій функції|, де- відома функція;

3. спостереження є стохастично незалежними.

Середнє значення величини вважається функцією величини, яка містить невідомі параметри, які слід визначити. Тип цієї функції невідомий. Найкращі оцінки для параметрів в рівнянні регресії визначаються на основі застосування методу найменших квадратів, вони визначаються за умови мінімізації суми квадратів різниць між значеннями, які спостерігаються, та відповідними значеннями згідно теоретичної кривої.

Найпростішим є випадок лінійної регресії, коли функція лінійна відносно. Оцінки для параметрів в цьому випадку мають нормальний розподіл із середніми значеннями, рівними параметрам, які визначаються, з найменшими можливими дисперсіями. У випадку нелінійної регресії задачу приводять, якщо це можливо, до задачі лінійного регресійного аналізу з кількома незалежними змінними (наприклад: якщо, поклавши, отримаємо:Зупинимося на виборі кривої регресії, маючи на увазі, що при використанні регресійного аналізу тип функції регресії відомий. В розпорядженні дослідника є лише результати спостережень, а тип кривої регресії підлягає визначенню. Для цього за експериментальними даними будується графік – т.з. «кореляційне поле». З використанням часткових середніх (середніх значень величини, які відповідають фіксованому) можна прослідкувати основний напрямок витягну тості графіка функції. Доцільно використати т.з.експертні оцінки– сукупність відомостей професійного характеру про реальну систему, що вивчається. Прийняту гіпотезу про тип кривої регресії слід перевірити з використанням спеціально розроблених статистичних критеріїв, щоправда останні не дають змоги встановити, чи є даний гіпотетичний тип залежності найкращим, але можуть підтвердити, що припущення стосовно типу кривої не суперечать вихідним даним, чи навпаки. При визначенні регресійної залежності необхідно завжди вказувати діапазон обслідування незалежної змінної, оскільки із статистичної точки зору всяка екстраполяція емпіричних регресійних кривих не завжди коректна.