3.6.1. Математична модель агрегату

Агрегат – це загальна математична модель елементів складної системи, яка дає можливість на єдиній мові зобразити опис детерміністичних та стохастичних об’єктів, які функціонують в неперервному та дискретному часі (релейно-контактних схем, скінченнях та імовірнісних автоматів, систем масового обслуговування, та ін.) В кінцевому підсумку моделі широкого класу складних систем описуються композицією спряжених агрегатів. Агрегат, як уніфікований елемент характеризується множинами моментів часуТ, станів в кожний момент часуZ, вхіднихХта вихіднихУсигналів. Стан агрегату в моментпозначимо. Вважатимемо, що із станудо стануагрегат приходить протягом малого інтервалу часу. Перехід агрегату із станудо, визначається динамічними властивостями самого агрегату та вхідними сигналами. Припустимо, що поведінка моделі у випадку дії вхідного сигналуописується оператором. Тоді стан, де- момент надходження до агрегату вхідного сигналу, можна визначити з виразу

(3.46)

Надалі півінтервал часу позначатимемо, а півінтерваляк. Якщо інтервалне містить жодного моменту надходження сигналів, то длястан агрегату визначається оператором

. (3.47)

Сукупність операторів V та Uрозглядається як оператор переходів агрегату до нового стану. В множині станівZдоцільно виділити підмножину, таку, що якщодосягає, яка є моментом видачі вихідного сигналу, який визначається оператором виходів

. (3.48)

Впорядкована сукупність розглянутих множин та випадкових операторівповністю задає агрегат як динамічну систему. Таким чином, процес функціонування агрегату складається із стрибків стану в моменти надходження вхідних сигналів (оператор) та змін стану між цими моментами (оператор). На операторне накладається жодних обмежень, тому припустимими є стрибки стану в певні моменти часу, які не є моментами надходження вхідних сигналів. За умови практичного використання агрегатів часто такими моментами є моменти видачі вихідних сигналів (виходу стану на границю підмножини) та деякі інші. Надалі моменти стрибків називатимемо «особливими»моментами часу.Для опису стрибків стану в особливі моменти часуt^*, що не є моментами надходження вхідних сигналів, використаємо оператори

(3.49)

які представляють собою окремі випадки оператора . Позначеннязалишимо для оператора, який визначає поведінку агрегату в інтервалах часу між особливими моментами.

Приклад

Нехай до ЕОМ, що розглядається як система масового обслуговування в моменти часу , які утворюють випадковий потік однорідних подій, надходять задачі. Задача, що надійшла в моментхарактеризується випадковим параметром. Виберемо таку дисципліну обслуговування: якщо заявка застала обчислювальну машину вільною, то задача, яка відповідає цій заявці, негайно приймається до обслуговування; в іншому випадку заявка направляється до черги і знаходиться там не більше, ніж, де- параметр, який характеризує продуктивність ЕОМ. Якщо до моменту часузадача- ої заявки не буде прийнята до обслуговування, то вона «залишає» систему. В момент закінчення розв’язування задачі обчислювальна машина приступає до розв’язування наступної задачі в порядку черги. Тривалість розв’язування задачі (зайнятість обчислювальної машини) становить.

Представимо цю систему, як агрегат, стан системи опишемо такими координатами: - час, що залишився до закінчення розв’язування- ї задачі;- чисельність задач в системі (в черзі та на обслуговування). Якщо(система не містять заявок), тодля всіхдо моменту появи нової задачі. Коли, то заявки є як на обслуговування, так і в черзі. В цьому випадку потрібні додаткові координати стану:де- параметр-ої заявки в черзі;- залишкова тривалість очікування в черзі для-ої заявки. Вхідні сигнали (задачі) надходять до агрегату в моменти, і приймають значення.

Розглянемо випадкові оператори які описують дану систему. Нехай в момент часунадходить нова заявка. Якщо в цей момент обчислювальна машина зайнята- дана заявка надходить до черги; за цих умовне змінюється,- збільшується на одиницю,та- не змінюються; крім того, виникають нові координатита, які характеризують заявку, що надійшла. Якщо ж в момент часуобчислювальна машина вільна і заявок в черзі немає (в цьому випадкуі координатитане визначаються, задача заявки, що надійшла, приймається до обслуговування. Тоді, інші координати не визначаються.

Виходячи з цього, можна наступним чином записати оператор

, якщо ,

, якщо ,

,

(3.50)

Розглянемо зміни координат стану в інтервалі між моментами надходження вхідних сигналів.

Для моменту координати стану визначаються у вдповдністю з (1.50). Певний час післякоординатитазменшуються з одиничною швидкістю, азалишається сталою. Координата, спадаючи з одиничною швидкістю, обертається в нуль в моментзакінчення обслуговування чергової заявки, в цей момент заявка покидає систему і приймається до обслуговування наступна (і+1) – а заявка з черги, якщо, томувід нуля стрибком зростає доі далі спадає з одиничною швидкістю. В цей же момент координатазменшується на одиницю. Якщо ж заявок в черзі немає,залишається рівною нулеві до надходження нової заявки та прийняття її до обслуговування. Координати, спадаючи з одиничною швидкістю, оберталися б в нуль в моментдля відповідних заявок, які приймаються до обслуговування в моменти часу, відповідні координатине визначаються. В моменти часу(для заявок не прийнятих до обслуговування) координатазменшується на одиницю (заявка покидає систему).

Нехай (розв’язок задачі чергової заявки закінчений). В цьому випадку можливі два випадки. В першому випадку в системі є заявки,до обслуговування приймається задача наступної заявки з черги; тривалість обслуговування. В другому випадку (в системі немає заявок,система чекає моменту надходження нової заявки і призводить до обслуговування. Моментє особливим, оскільки в цей моментдосягає, тобто. Тому стрибок станувизначається оператором:

якщо

, якщо ,

, (3.51)

,

Розглянемо один особливий момент часу , який не є моментом надходження вхідного сигналу. В момент часу, коли завершується час очікування однієї із заявок, наприклад- ї, чисельність заявок в системі зменшується на одиницю. Стан агрегатувизначається операторомтакого типу: