3.4. Дискретні системи, автомати

Дискретні пристрої в сучасній техніці займають значне місце, це – обчислювальні та керуючі машини дискретної дії, керуючі системи автоматичної телефонії, тощо. Найпростішим елементом дискретної системи є реле – елемент, вхідна та вихідна величини якого можуть приймати лише скінченне (два, три) число значень. Реле може бути виконано на діодах, тріодах, електронних лампах. Типовий релейний елемент – електромеханічне реле, виконавчі органи якого (контакти) можуть знаходитися тільки в двох (стійких) станах – замкненому та розімкненому. Аналізуючи сумісно множину елементів, які утворюють релейний пристрій елементів та зв’язку, за якими відбувається взаємодія між елементами, а саме розглядаючи структуру релейних пристроїв розв’язують такі задачі:

• побудову структури релейних пристроїв за заданим співвідношенням вхід-вихід – задача синтезу релейних пристроїв;

• визначення співвідношення вхід-вихід за заданою структурою – аналіз релейних пристроїв.

Слід мати на увазі одну з основних задач синтезу – проблему мінімізації: побудови структури, яка реалізує наперед задані співвідношення вхід-вихід та містять мінімально можливе число елементів. Математичний апарат, який застосовується для опису та дослідження елементів та пристроїв, які мають релейну дію, включає багато засобів дискретної математики: математична логіка, комбінаторний аналіз, теорія графів та інші розділи математики, які досліджують дискретні величини.

Всі релейні пристрої поділяються на два класи: однотактні табагатоактні.Однотактні пристрої – це пристрої без пам’яті, в яких сукупність вихідних сигналів в будь-який момент часу представляють собою однозначну функцію вхідних сигналів в той же момент часу. Багатотактні пристрої – це релейні пристрої з пам’яттю, в яких сукупність вихідних сигналів в будь-який момент часу залежить не тільки від сукупності вхідних сигналів, але й від внутрішнього стану пристрою.

Розглянемо основні поняття теорії дискретних систем.

3.4.1. Однотактні релейні пристрої. Булеві функції

Змінні , які приймають значення з множини {1,0}, називаютьсядвійковимичимулевимизмінними, зnмулевих змінних можна утворити 2ⁿнаборів (0,0,…,0), (0,0,…,1),…,(1,1,…,1), які не співпадають між собою. Функціїf(x₁,x₂,…,x_n) від будь-якого скінченного числа булевих змінних, які приймають значення 0 чи 1, називаютьсямулевимифункціями. Існуєрізних булевих функцій відnзмінних, включно з функціями меншого числа змінних. У випадку однієї змінної існує всього чотири мулевих функції: функції-константифункції повторенняфункції заперечення (інверсія)(не «х»), рівна одиниці, колих =0, і рівна нулеві, колих=1. Число мулевих функцій від двох змінних становить 16, включно з функціями-константамифункції повтореннята інверсії

Розглянемо на ще двох мулевих функціях від двох змінних – диз’юнкціїтакон’юнкції. Через диз’юнкцію, кон’юнкцію та інверсію шляхом суперпозиції (підстановки деяких булевих функцій замість аргументів до даної мулевої функції) можна подати будь-яку булеву функцію будь-якого скінченного числа змінних.

Диз’юнкція(позначається) задається з табл..3.1 і має смисл логічного «ЧИ». Застосовуючи суперпозицію, тобто підставляючи в диз’юнкціюзамість змінноїх₂булеву функцію (диз’юнкцію)отримаємо диз’юнкцію від трьох змінних

яка задається табл. 3.1, 3.2 і т.д.

Таблиця 3.1. Значення булевої функції (диз’юнкції) двох зміннихх₁ та х₂

Аргументи		Функція
х1	х2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Таблиця 3.2. Значення булевої функції

Аргументи			Функція
х1	х2	х3
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Диз’юнкція як операція над змінними підпорядковується перемісному

і т.д., та сполучному

законам.

Кон’юнкція(позначається) задається табл. 3.3 і має смисл логічного «ТА». Застосовуючи суперпозицію, отримаємо кон’юнкцію від трьох змінних(табл.. 3.4)

Таблиця 3.3. Значення булевої функції (кон’юнкції двох зміннихта

Аргументи		Функція
х1	х2
0	0	0
0	1	0
11	0	0
1	1	1

Таблиця 3.4. Значення булевої функції

Аргументи			Функція
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Кон’юнкція також підпорядковується перемісному та сполучному законам

Багато виразів можна спростити за рахунок перетворення булевих функцій, виражених через диз’юнкцію, кон’юнкцію та інверсію за відомими тотожностями мулевої алгебри:

А0=А, (3.28)

А0 = 0, (3.29)

А1 = 1, (3.30)

А1 =А, (3.31)

АА=А, (3.32)

АА=А, (3.33)

(3.34)

(1.35)

Дистрибутивний закон кон’юнкції по відношенню диз’юнкції в (3.35) має такий же вигляд як і для алгебраїчного множення та додавання. Дистрибутивний закон диз’юнкції по відношенню до кон’юнкції в (3.35) є специфічним для булевої алгебри і не має аналогу у звичайній алгебрі.

Сенс спрощення функцій полягає в тому, щоб знайти інший вираз, який подає ту ж функцію, але для практичної реалізації якого необхідні витрати обладнання, порівняно з первісним варіантом.

Приклад

Булеві функції тає еквівалентними один одному, перший вираз перетворюється до форми другого шляхом відкидання членаbc.

Слід мати на увазі, що спрощення складних виразів не завжди можливе шляхом застосування правил (3.28)-(3.35). Для інших випадків розроблені спеціальні методи мінімізації мулевих функцій, це: метод Квайна, карти Вейча та ін..

Приклад

Побудувати вираз для мулевої функції трьох аргументів a, b, c, якщо вона перетворюється в 0 при таких наборах

a = 1,b =1,c = 0;

a = 1,b = 0,c = 0;

a = 0,b = 0,c = 1;

та в 1 при всіх інших наборах. Функція, виражена через кон’юнкцію, диз’юнкцію, інверсію, матиме вигляд:

(3.36)

Для роботи будь-якого перерахованих наборів для a,b,cфункція (3.36) дорівнюватиме нулеві. Для всіх інших наборів функція дорівнюватиме одиниці. Схема, яка реалізує таку функцію подана на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Схема, яка реалізує функцію

Приклад

Побудова схеми однотактного релейного пристрою. Спроектувати пристрій, який має три сприймаючих елементи А,В, С (кожний тип «ТАК» -«НІ») та один виконавчий елементz, який повинен спрацьовувати в одному з таких чотирьох випадків:

1. спрацьовує А,ВаС - ні,

2. спрацьовує В,АаС - ні,

3. спрацьовує С,АаВ – ні,

4. спрацьовує А,В,С.

Оцінимо роботу релейного пристрою таблицею станів сприймаючих та виконавчого елементів (таблиця 1.5).

Таблиця 3.5.Таблиця станів сприймаючого та виконавчого елементів

Стан сприймаючих елементів			Стан виконавчого елемента
А	В	С	z
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	1	1
1	1	1	1

Опишемо роботу релейного пристрою таблицею станів сприймаючих та виконавчого елемента, табл.. 3.5. Аналітичне зображення потрібної структури можна записати у вигляді:

. (3.37)

Схема однотактного релейного пристрою, який реалізує функцію (3.37), зображена на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Схема релейного пристрою для реалізації функції