3.3.2. Перший метод Ляпунова

Теорема 1. (без доведення)

Стан рівноваги x₀ = 0 диференціального рівняння

є асимптотично стійким, якщо стан рівноваги 0, який відповідає вільній лінійній стаціонарній системі

де А=є асимптотично стійким.

Аналогічно стійкості рівноваги визначається стійкості руху за Ляпунову.

Теорема 2. (без доведення)

Стан рівноваги 0 диференціального рівняння

є нестійким, якщо стан рівноваги 0 відповідної лінійної стаціонарної системи

,

де А = є асимптотично стійким.

Приклад

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

Точка y₀= 0,x₀= 0 є станом рівноваги. Дослідимо її на стійкість.

Для вибраного положення рівноваги лінеаризована система має вигляд

Власними числами матриці А будуть. Оскільки дійсна частина одного з них є додатною, стан рівноваги 0 для лінеаризованої системи нестійкий, тобто нестійкий для вихідної системи.

Приклад

Розглянемо систему, яка визначається рівняннями

Початок координат є положенням рівноваги. Дослідимо на стійкість точку рівноваги y₀= 0,x₀= 0.

Розклавши за формулою Маклорена, визначимо лінеаризовану систему:

Оскільки дійсні частини власних чисел матриці від’ємні, то початок координат є асимптотично стійким положенням рівноваги для початкової системи, оскільки він асимптотично стійкий для лінеаризованої системи.

3.3.3. Другий метод Ляпунова

Цей метод дає змогу дослідити стійкість системи, не розв’язуючи диференціальні рівняння стану. Стійкість досліджується з використанням властивостей відповідних функцій, які називаються функціями Ляпунова.

Теорема 1 (про стійкість)

Якщо існує диференційована функція, яка називається функцією Ляпунова, яка задовольняє в околі початку координат такі умови:

1. причомупри

2. привнаслідок (1.21), то точка спокоюсистеми є стійкою.

Існування функції Ляпунова гарантує стійкість, це можна пояснити наступним чином. Слід відмітити, що рух у фазовій площині здійснюється проти часової стрілки. Система стійка, якщо для будь-якого існуєтаке, що за умовивиконується нерівністьдля всіх.

За умовою теореми існує функція така, щоза умовиРозглянемо точкидля яких. Ці точки утворюють певну криву, рис. 3.6.

Рис. 3.6. Ілюстрація стану системи у фазовій площині

Візьмемо довільну точку яка лежить в колі, з радіусом. Якщо початкова точкавибрана в околі початку координат, що означає, то за умовиточка траєкторії, яка визначається цими початковими умовами, не може вийти за межі-околу початку координат і навіть за межі поверхні, оскільки в силу умови 2 теореми, функціявпродовж траєкторії не зростає, тобто за умови

Цим стійкість доведена.

Теорема 2 (про асимптотичну стійкість).

Якщо існує диференційована функція Ляпуноваяка задовольняє умови:

1. за умовиякщо.

2. причому поза як завгодно малого околу початку координатде- стала, то точка спокоюдосліджуваної системи асимптотично стійка.

Для пояснень використаємо рис. 1.6. Оскільки то значеннявздовж траєкторії розв’язку прямує до нуля, колиt→∞. Внаслідок першої умови теоремиxпрямує в початок координат, тобто точка спокоює асимптотично стійкою.

Приклад

Дана система, яка описується системою диференціальних рівнянь:

Дослідимо на стійкість точку рівноваги Для з’сування стійкості застосуємо перший метод Ляпунова. Для вибраного положення рівноваго лінеаризована система має вигляд:

Оскільки власні числа матриці є чисто уявними числами, то перший метод не дає інформації про стійкість стану рівноваги початкової системи. Скористаємося другим методом. Функція Ляпунова має вигляд, крім того

1.

2.

Причому поза деякого околу початку координат, тобто точка рівновагиза теоремою 2 є асимптотично стійкою.

Приклад

Дослідимо на стійкість точку рівноваги системи диференціальних рівнянь

В якості функції Ляпунова виберемо

1.

2. причомутобто точка рівноваги є асимптотично стійкою.

Слід зазначити, що в означеннях Ляпунова порівнюються два розв’язки однієї і тієї ж системи. На практиці представляє інтерес з’ясування питання про те, наскільки зміниться розв’язок системи рівнянь у випадку варіацій її правої частини, оскільки в дійсності на систему, що описується, діють сили, врахувати які неможливо при складанні рівнянь.

Наявність нелінійних членів в системі спотворює поле напрямків, яке визначається лінійною системою першого наближення, тому траєкторія, що виходить з деякої точки після обходу початку координат дещо зміщується порівняно з траєкторією лінійної системи, що проходить через ту ж точку. Причому, якщо всі траєкторії, за умовинаближаються до початку координат, то в початку координат виникає стійкий фокус, рис. 3.7.а; якщо ж траєкторія, за умови, віддаляється від початку координат, то виникає нестійкий фокус, рис. 3.7.б.

а – стійкий фокус б – нестійкий фокус

Рис. 1.7. Схеми замкнутих траєкторій

Замкнуті траєкторії, рис. 3.7.а,б (виділені жирними лініями), в околі яких всі траєкторії є спіралями, називаються граничними циклами, які за реальних умов відповідають режиму автоколивань.