3.3. Елементи теорії стійкості систем

Теорія стійкості вивчає вплив збурюючи факторів на поведінку (рух) досліджуваної системи. Збурюючими факторами є сили, які не враховуються при опису руху внаслідок їх малої величини, порівняно з основними силами. Вони можуть діяти миттєво, що призводить до малої зміни початкового стану системи, або неперервно. Це означає, що складені диференціальні рівняння руху відрізнятимуться від істинних, що в них не враховані певні малі поправочні коефіцієнти. Вплив малих збурюючи факторів на рух системи буде різним, на одні рухи цей вплив незначний, коли збурений рух мало відрізнятиметься від незбуреного; на інші – значний, коли збурений рух значно відрізняється від незбуреного і матиме місце нестійкий рух.

Теорія стійкості встановлює ознаки, які дають змогу судити про стійкість, або про нестійкість руху. В залежності від сутності розв’язуваної задачі і типу збурення використовуються різні методи визначення стійкості. Ми розглядатимемо методи Ляпунова (перший та другий) дослідження стійкості систем.

3.3.1. Основні поняття теорії стійкості систем

Нехай система автоматичного управління описується системою диференціальних рівнянь:

(3.21)

де у_і– змінні параметри, які описують стан системи автоматичного управління;Y_i– невідомі функції, які визначені в певній фіксованій області простору зміннихt,y₁, …,y_n,

з початковими умовами y_i(t₀) =y_i0,I = 1, 2, …,n.Ці умови визначають вихідний стан системи управління приt = t₀. Кожній системі початкових значеньy_i(t₀),t = 1, 2, …,nсистеми диференціальних рівнянь (3.21). Якщо як завгодно малі зміни початкових умов здатні в значному ступені змінити розв’язок, то такий, вибраними нами початковими даними, не має практичного значення, оскільки відповідає нестійкому стану системи. У зв’язку з цим виникає питання про знаходження умов, коли достатньо мала зміна початкових даних викликає як завгодно малі зміни розв’язку, тобто знаходження умов, за яких система управління, яка описується системою рівнянь (1.21) буде стійкою.

За Ляпуновим, розв’язок y^*_i(t),i= 1, 2, …,nсистеми типу (3.21) називаютьсястійкими, якщо, за умови будь-якої заданої областіприпустимих відхилень від стану рівноваги, можна підібрати область припустимих початкових умов, яка має ту властивість, що жодний рух, який починається всередині, ніколи не досягне границь області. Поняття стійкості за Ляпуновим ілюструється для двомірного випадку на рис. 3.5.

Рис. 1.5. Ілюстрація поняття стійкості за Ляпуновим

Тобто розв’язок y^*_i(t),i = 1, 2, …,nсистеми (3.21) буде стійким, якщо для будь-якогоt₀з інтервалу [0 ,T] та числаможна підібратитаке, що всякий розв’язокy_i(t),i = 1, 2, …,n тієї ж системи, початкові значення якого задовольняють нерівність

(3.22)

Визначено в проміжку t₀<t < ∞ і для всіхt ≥ t₀справедливими є нерівності

(3.23)

Близькі за початковими умовами розв’язки залишаються близькими для всіх t ≥t₀. Розв’язоксистеми (3.21) називається стійким, якщо існує областьприпустимих відхилень від стану рівноваги, для якої не існує область, яка є околом стану рівноваги і має ту властивість, що жодний рух, який розпочинається всередині, ніколи не досягне границі області, або якщо цей розв’язок не продовжуваний приt →∞.

В цьому випадку за умови t₀[0,T] і як завгодно малиххоча б для одного розв’язкуy_i(t),i = 1, 2,…,nнерівність (3.23) не виконується приt ≥t₀.

Якщо стійкий розв’язок призадовольняє умову

(3.24)

для всякого розв’язку то в цьому випадку має місце асимптотична стійкість.

Стійкість за Ляпуновим – це стійкість для достатньо малих початкових відхилень, вона, як поняття, є важливою тоді, коли досліджується чисто фізична здійснюваність певного стану рівноваги. Якщо стан рівноваги є стійким за Ляпуновим, то він фізично здійсненний, якщо ж ні, - то нездійсненним, оскільки за будь-яких, як завгодно малих початкових відхиленнях зображуючи точка системи розпочне відхід з околу точки рівноваги.

Для дослідження на стійкість певного розв’язку системи рівнянь

(3.25)

доцільно перетворити рівняння (3.25) до нових змінних:

. (3.26)

В силу (1.26) в нових змінних система (3.25) приймає вигляд

(3.27)

Очевидно, що досліджуваному на стійкість розв’язку системи (1.25), внаслідок залежності (3.26), відповідає тривіальний розв’язоксистеми (3.27). Тому надалі можна вважати, що на стійкість досліджується тривіальний розв’язок, чи точка спокою системи рівнянь, розташована в початку координат.

Точка спокою системи (3.27) є стійкою за Ляпуновим, якщо для всіхі кожному> 0 можна підібратитаке, що з нерівності

випливає

, за умови