Холмская экзамен / Моделювання систем
.pdf42 |
“b CC4g |
^14 |
^ 0 , |
(3.10) |
X CC |
|
|
- загальна біомаса рослин за відсутності тварин зростає, тобто:
ц = а 15 - а 51 + а 25 - а 52 + а 35 - а 56 > 0. |
(3.11) |
За цих умов розв'язками четвертого та п'ятого рівнянь системи (3.9) є пері одичні функції u та v, які задовольняють співвідношення (3.4), s - зростає, a z -
спадає. Рівняння (3.7) набувають вигляду:
x (t + со) —x (t) 1 Г/ |
\ |
соCO
У(t + Co)со —у (t)
^
со
z(t + co)-z(t)
СО
—ОLv |
46 а42) V 51 ^15) аі4(а 25 |
а 52 ^35 |
J |
||
P L |
|
|
|
|
|
1 г |
/ |
\ |
/ |
\/ |
М |
— Р |_ а 42 ( а і5 |
а 5 і " * " а 35 ° Ч б ) |
( а 25 |
t t 52 ) ( а 4б |
Ц 4 / _ | ’ |
|
а 35 (а 42 |
а 46 |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
(3.12)
Звідси випливає, що:
x(t + со) + у (t + со) + z(t + со) —x(t) —у (t) - z ( t) _ |
Ха56 + ц а 46 < 0 . |
СО |
р |
(3.13)
тобто маса атмосфери зменшується з часом. Висновок про те, за рахунок яких газів відбувається це зменшення, залежить від припущень, аналогічних нерів ностям, які розглядалися при аналізі кругообігу кисню та вуглецю.
Ці результати практично не змінюються, якщо замість сталих коефіцієн тів увести функції, які слабко залежать від часу або від змінних х, у, z, u, v, s. У
цьому разі періодичний процес стає квазіперіодичним, а точка (u, v), що зобра жує органічний світ на фазовій площині, буде описувати певну нерегулярну криву. її кутові точки відповідають різким змінам умов існування рослин та тварин, наприклад у періоди інтенсивної вулканічної діяльності або заледенінь.
Збіднення атмосфери хоча б одним з потрібних для життя газів може призвести до швидкого вимирання значної частини органічного світу. Таке порушення рі вноваги може також сприяти розвитку інших видів тварин і рослин, що відо бражається стрибкоподібною зміною коефіцієнтів моделі. Якщо після подібно го збурення настає відносно тривалий спокійний період, то рівновага поступово відновлюється, коливання u та v згасають, і точка (u, v) прагне до стану стійкої рівноваги (uc, vc). Режим наближення до рівноваги є близьким до періодичного,
але супроводжується зменшенням маси атмосфери внаслідок розсіювання газів
уземній корі.
Умоделі (3.9) не враховано такі джерела та стоки газів, як вулканізм,
промисловість, ерозія тощо. Позначимо через а приріст загальної маси вуглеки слого газу в атмосфері та океані за одиницю часу внаслідок дії цих джерел та стоків. Тоді друге рівняння системи (3.9) набуває вигляду:
dy
— = а + а 42и - a 25v + a 52v , (3.14) dt
а приріст кількості вуглекислоти за період дорівнюватиме:
(3.15)
Ця величина зазвичай є від'ємною константою, але у певні періоди часу вона може швидко змінюватися і навіть ставати великою додатною величиною,
достатньою для забезпечення суттєвого збагачення атмосфери вуглекислим га зом.
Відмітимо, що початок розвитку органічного світу не може бути описа ний моделлю В.О. Костицина, оскільки вона дає ненульові значення u та v ли ше за умови, що Uo та Vo відмінні від нуля.
3.2. Аналіз періодичних розв'язків моделі В.О. Костицина
Система (3.3) є системою Лотткі - Вольтерра, що описує класичну систе му "хижак - жертва". Наявність періодичних розв'язків випливає із загальної теорії систем Ляпунова. Праві частини її рівнянь є аналітичними функціями і допускають аналітичність першого інтегралу (3.4). Тоді, згідно із загальною те орією систем Ляпунова, ці рівняння мають періодичний розв'язок в околі точки спокою:
u = jlx/P, v*=A/f3, |
(3.16) |
який може бути поданим у вигляді рядів за степенями с, де с - |
початкове відхи |
лення функції u(t) або v(t) від рівноваги.
Для побудови періодичних розв'язків можна застосовувати різноманітні аналітичні і графічні методи, зокрема методи Ван-дер-Поля, Крилова - Бого-
любова й фазової площини.
Метод Ван-дер-Поля. Цей метод є найпростішим варіантом метода осе-
реднення. Положимо: u = u* + с,, v = v* + л • Тоді рівняння (3.3) можна записати у такій спосіб:
£ = ИЛ + Р£Л, Л = - ^ “ Р£Л- |
(3.17) |
Для аналізу цієї системи уведемо змінні Ван-дер-Поля:
(3.18)
Підставимо (3.18) у (3.17) й розв'яжемо отримані рівняння стосовно с та
Ф. Отримаємо:
С = ----- 1 = |? и /) І С 0 8 2 ф 8ІП ф + |а -\/^ С 0 8 ф 8ІП2 ф |;
• |
Вс |
I |
(ЗЛ9) |
ф = -<JX\1 + |
|
COSфsin2 ф - [lyfk COS2 ф8ІПф|. |
Праві частини рівнянь (3.19) є періодичними функціями "швидкої" змін ної ф з періодом 271. Тому для отримання асимптотичного розв'язку з точністю
0(с ) достатньо розв'язати систему, одержану з (3.19) осередненням за ф. Оскі льки:
271 271
J cos2 фзіпф ckp =J cos фsin2 ф СІф =0,
о о
після осереднення одержимо:
0, ф = л/XjLL . |
(3.20) |
Тоді у першому наближенні маємо:
Т = 2ті / ф ц і , |
(3.21) |
= ccos^^/Xjlt + t0 j; r\ = -c^-sin^^/X jit + t0У |
(3.22) |
Таким чином, в межах методу Ван-дер-Поля розв'язки рівнянь (3.18) збі гаються з розв'язками лінеаризованих рівнянь: змінні та г\ гармонічно коли-
ваються з частотою яка не залежить від амплітуди с. Цей результат ви
пливає із загальної теорії систем Ляпунова. Точніше період можна визначити через ряд:
(3.23)
що не містить першого степеня амплітуди с. Це підтверджує, що за малих від хилень від рівноваги залежністю періоду від амплітуди можна зневажати без втрати точності.
Метод Крилова —Боголюбова є загальним методом осереднення. Розгля немо рівняння (3.19). Вважаючи відхилення від рівноваги малим, уведемо ма лий параметр є і приймемо c = sz, де s = z(0). Тоді система (3.19) набуде ви-
гляду:
(3.24)
При аналізі динаміки систем часто виникає необхідність відділення швид ких процесів від повільних. Це дає змогу спростити математичну модель шля хом її декомпозиції й роздільного опису відповідних процесів. Для цього уве демо нові змінні:
(3.25)
(3.26)
На функції u та v додатково накладемо умову обмеженості при ер —» оо.
Підставляючи (3.25, 3.26) до (3.24), отримаємо:
5ц і— |
P(z + su) |
/ |
_ |
\ |
/ - |
\ |
|
-^=^Х\± = — |
|
^j— |
|
М-cos2 + sv jsin^cp + sv j + |
|||
+|W^cos((p + sv)sin2(cp+ sv)j - A - s ^ = B |
-s-^=A; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.27) |
і— P(^ |
) ( |
|
і— /— \ |
/— \ |
|
||
-^=y]X\l = |
|
—|^ A/)lCOS^ + £vjsin2^ |
+ £vj - |
|
|||
-|WXcOS2^ |
+ Sv)sin(^ + Sv)> —В —s—=B —s—=A. |
||||||
v |
|
' |
v |
’> |
5ф |
dz |
|
Послідовні наближення для розв'язання системи (3.27) можна розрахову
вати за такою схемою (к - номер ітерації):
5ик
5ф
p(z + suk l ) , |
|
\ /— |
\ |
||
— ---- —j= ----— |
|1 COS2 ^ф + SVk_1 )8Іп(ф + |
SVk_1) + |
|||
|
|
|
|
|
(3.28) |
+\iyfx, cos ^ ф + svk 1 jsin2^ |
+ svk 1 - |
|
|||
. ь |
Л. |
k—1 |
'Л k —1 |
. ь-_і |
|
(7U |
Ь—і |
(711 |
|
||
-A |
- s —^ B k 1- s — = - Ak 1; |
|
|||
|
5ф |
dz |
|
|
|
dvk |
4 h i = |
|
|
|
|
5ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(z + suk1) / |
!— |
|
, |
||
= |
^ |
|
|1 COSф + svk_1 j sin2 ^ ф + svk_1 j - |
||
- |1л/^ COS2 ( ф + svk_1 j sin ( ф + svk_1 )j -
. av"-1 k—1 |
dv"-1 Ak_! |
|
-B - s —^ B k 1- s — ^ A |
\ |
|
5ф |
dz |
|
Якщо покласти: u° = v° = А° = В° = 0, то для першого наближення будемо
мати:
Su1 |
cos2 фзіпф + \isfx, созф sin2 ф| —А1; |
(3.30) |
|
5ф |
|||
л/і1 |
|
||
Sv1 |
cosфsin2 ф —\iyfx cos2ф8ІПф| —В1. |
(3.31) |
|
yJX\ї = |
|||
5ф |
|
|
Праві частини (3.30, 3.31) є періодичними функціями ф, тому для того,
щоб ці рівняння допускали обмежені розв'язки за ф —» оо, необхідно й достат ньо, щоб середні значення правих частин дорівнювали нулю. Звідси маємо:
А1=0, В1=0. |
|
|
(3.32) |
||
И, ВІДПОВІДНО, |
|
|
|
|
|
Г) |
—2 (п |
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
и1(ф) = — т=J {Wmcos2 Ф sin Ф + |
cos Ф sin2 ф}ckp + Fj (z j ; |
(3.33) |
|||
|
|
0 |
|
|
|
у1(ф) = - J = |
j |
cos фsin2 ф - |
[i\fk cos2 фзіпф| + F2 (z j . |
(3.34) |
|
yjA\l Q |
|
|
|
||
Точність наближеного розв'язку не залежить від вибору F, |
і F2 ^zj. |
Тому приймемо їх рівними нулю і після інтегрування отримаємо: |
|
U1(ф) = |
і 1 ~~ cos2 ф)~~sin' ф ^’ |
(3.35) |
|
З |
умов |
(3.26) та (3.32) |
випливає, |
що |
у |
цьому наближенні |
||||
z = const, ф = у]Х[й . Звідси: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
- |
|
-2 / |
|
|
|
|
|
|
|
|
s(3z |
~ cos3 л /М ) ~~ sin3 V ^ t |
|
|
(3.37) |
|||||
Z = |
z ---------- |
|
|
|||||||
ф = л/ м |
+ ^ L |
—^ s in 3 yjhi~it - —(l - |
COS3 |
) |
|
(3.38) |
||||
|
|
|
|
Vii |
|
|
|
\ |
|
|
Повертаючись до вихідних змінних |
та г\, отримаємо: |
|
||||||||
^ = С0 |
Рс 0 J |
- ^ 1 - COS3 У |
ІXjot j - |
sin3 |
—( l - |
COS3 у/Xjot j |
X |
|||
|
|
|
3 V|1 |
|
|
|
|
|
(3.39) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xcos<^ |
|
|
- ^ s in 3 д/XjLlt - |
~~ COs3 |
) |
|
||||
|
я |
|
Pc2 |
|
|
|
|
|
|
|
Л = —л/—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 лДці |
|sin |лУXjot + ~ ~ |
- p |
n 3^ |
— |
|
- cos3 д/Xjut ^ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
л/Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.40) |
Формули (3.39, 3.40) дають змогу точніттте розрахувати характер зміни функцій ^ та т) залежно від початкового відхилення Со від положення рівноваги,
порівняно з (3.22).
3.3. Моделювання динаміки складу атмосфери у пакеті MathCad
(K l(t,u,v) + 2-K2(t,u,v) + 2-K3(t,u,v) + K4(t,u,v))
A K (t,u,v) :=
(Ll(t,u,v) + 2-L2(t,u,v) + 2-L3(t,u,v) + L4(t,u,v))
A L(t,u,v) :=
і := 0.. N - 1
f t oЛ |
( (Л |
u0 |
1 |
v V0 y |
v l y |
|
f t . |
, ^ |
( |
t. + h |
|
'A |
l+l |
|
1 |
|
|
|
|
i+1 |
u. + ДК |t.,u.,v.j |
|
||
|
|
|
|
|
|
v |
- і |
v. + AL'(v ui’vi) |
j |
||
V 1+1 У |
V і |
і |
ч |
||
F ^ u ^ V j j = -0.195
K l^ t^ u ^ V j) = -0.389
AK (t, ,u, ,уЛ =-0.34
u = 0.718
|
|
Ч =2 |
0 |
500 |
=-0.141 |
1x10 |
||
|
t |
L l^ t^ u ^ V j) =-0.283 |
AL^tj,Uj,Vjj =-0.163
v = 0.458
u
-0.5
v
З наведених результатів добре видно періодичний характер змінювання за гальних обсягів вуглецю та кисню в тваринах і рослинах, що відповідає періо дичним коливанням пропорційних цим величинам загальних біомас тварин і рослин. Другий графік ілюструє зазначену вище відповідність замкнених фазо вих траєкторій в координатах (v,u) періодичним розв'язкам системи (3.3).