Холмская экзамен / Моделювання систем

3. ПРИКЛАДИ ПОБУДОВИ Й ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

3.1. Модель динаміки складу земної атмосфери

Сучасна атмосфера Землі за своїм складом істотно відрізняється від атмо­ сфер найближчих до нас планет Сонячної системи - Венери та Марса, де осно­ вним компонентом є вуглекислий газ, концентрація якого дорівнює близько

95%. Кількість вільного кисню в атмосфері Марса всього 0,2%, а в атмосфері Венери вона ще менша. У земній атмосфері вміст вуглекислого газу дорівнює

0,032%, а кисню - 21%. Між тим вулканічна діяльність на Землі, також як на Марсі і Венері, призводить до утворення величезної кількості вуглекислоти. Рі­ зниця, що спостерігається, пов'язана з наявністю життя на нашій планеті. Її ва­ жливою причиною є життєдіяльність земних рослин і тварин. У зелених росли­ нах зосереджена основна маса живої речовини. За допомогою сонячного ви­ промінювання вони синтезують глюкозу та інші вуглеводи із молекул СО2 та Н20. Молекули кисню, що вивільняються в такому процесі, неперервно потра­ пляють до атмосфери Землі. Кількість кисню, що виділяється земними росли­ нами дорівнює приблизно 2,5 млрд. т/рік. Водночас вони поглинають близько

3,5 млрд. т/рік вуглекислоти та 1,4 млрд. т/рік води.

Розвинене життя є потужним фактором, що перетворює атмосферу та ко­ ру Землі. Це дало В.І. Вернадському підґрунтя для введення поняття біосфери -

оболонки земної поверхні, що містить живі організми у будь-якій концентрації.

Вона охоплює верхній (приблизно 3 км) шар кори, усю гідросферу та нижні шари атмосфери. За сучасними оцінками повна маса живої речовини на Землі дорівнює приблизно 4220 млрд. т. З них близько 20 млрд. т припадає на тварин і мікроорганізми, а інше - на зелени рослини. Поверхневі шари земної кори пе­ ретворені життєдіяльністю різних організмів приблизно на 99%. Практично весь кисень земної атмосфери є результатом фотосинтезу рослин і за час існу­ вання біосфери він оновився, пройшовши біогенний цикл, не менш, ніж 1 млн.

разів. Якщо б цей процес припинився, то за кілька тисяч років кисень повністю

б зник з атмосфери. Бактерії спроможні розкладати найміцніші хімічні сполуки,

що входять до складу алюмосилікатів та гранітів, котрі є основною складовою

земної кори. Одним із результатів їх життєдіяльності є утворення ґрунту.

Атмосфера Землі містить близько 1015 т вільного кисню. Ще порядку

1019 т кисню зв'язані у земній корі. Кількість вуглецю в атмосфері дорівнює

(2-3)Т012 т, в океані - близько 1014 т, у земній корі - 1016 - 1017 т. У літосфері вуглець розподілений нерівномірно: у верхніх шарах його вміст у 5-10 разів вищій, ніж у нижніх. Кількість азоту в атмосфері та літосфері дорівнює прибли­ зно по 4Т015 т.

Вивільнення та зв'язування кисню, вуглецю та азоту на поверхні Землі ві­ дбувається при утворенні та розкладанні органічних речовин, життєдіяльності живих організмів, ерозії, промислової діяльності людей, дисипації у міжплане­ тний простір.

Розглянемо модель кругообігу цих елементів, запропоновану В.О. Костициним в 1935 р. Вона не враховує промислову діяльність людства,

для якої на час її побудови не існувало адекватних методів математичного опи­ су та потрібної інформації. На думку В.О. Костицина, врахування цієї діяльнос­ ті могло б призвести лише до зміни значень певних числових коефіцієнтів і по­ чаткових умов. Самі ж рівняння та їх розв'язки якісно б не змінилися. Крім то­ го, згідно з сучасними даними, кількість вуглецю й азоту, що потрапляє до ат­ мосфери внаслідок життєдіяльності мікроорганізмів, може істотно перевищува­ ти обсяги промислових викидів цих елементів.

Загальна маса вуглекислоти в океані приблизно у 30-40 разів вища, ніж в атмосфері. У моделі приймається гіпотеза Т. Шлезинга, згідно з якою океан ро­ зглядається як регулятор вмісту вуглекислоти в атмосфері: він вивільняє вугле­ кислоту, коли її парціальний тиск в атмосфері зменшується, і поглинає її, якщо цей тиск зростає. Таке припущення відповідає термодинамічній рівновазі між океаном та атмосферою стосовно розчинення вуглекислоти.

Спочатку розглянемо кругообіг кисню та вуглецю. Уведемо такі позна­ чення:

dv

dt

ds

———a 35u + a 45v, dt

x + y + u + v + s = M.

Ця модель є динамічною, нелінійною, неперервною, детермінованою, із зосередженими параметрами. Вона стаціонарна, якщо коефіцієнти a ;j та Р є сталими, і нестаціонарна, якщо хоча б один з них змінюється з часом.

Розглянемо систему (3.1) більш детально.

Згідно з першим рівнянням, атмосферний кисень витрачається на дихання тварин та рослин і вивільняється у процесі травлення рослин. Припускається,

що швидкості цих процесів, тобто кількість кисню, який витрачається або виві­ льняється у них в одиницю часу, є пропорційними до загальних мас тварин і рослин, відповідно, які, у свою чергу, є пропорційними до загальних мас кисню та вуглецю, що містяться у них. Таке припущення відповідає розкладу невідо­ мих залежностей швидкостей процесів у ряд Тейлора із врахуванням лише пе­ рших ненульових членів (із змістових уявлень можна зробити висновок, що за нульової біомаси рослин або тварин процеси їх дихання не відбуваються, тому вільні члени відповідних рядів Тейлора дорівнюють нулю). Також приймається,

що швидкості вказаних процесів не залежать від вмісту кисню в атмосфері, що допустимо лише при розгляді відносно малих (у геологічному вимірі) інтерва­ лів часу.

Друге рівняння відображає отримання атмосферою вуглецю, який вивіль­ няється рослинами і тваринами у процесі дихання, а також при розкладанні жи­ вої матерії. Воно також враховує поглинання вуглекислоти рослинами при їх

травленні. Це рівняння ґрунтується на тих самих припущеннях, що й перше.

Крім того, воно не враховує такі джерела вуглекислого газу, як вулканічна дія­ льність, промисловість, ерозія тощо.

Третє рівняння відображає засвоєння та віддачу газів тваринами внаслі­ док їх дихання та розкладання, збагачення ґрунту киснем та вуглецем при розк­ ладанні трупів тварин, а також травлення тварин рослинами. Швидкість остан­

нього процесу приймається пропорційною добутку біомас тварин та рослин.

Четверте та п'яте рівняння відображають швидкості потрапляння вуглецю та кисню до рослин і земної кори. Вони враховують ті самі процеси, що вже бу­ ли розглянуті, оскільки баланс кисню та вуглецю у системі має зберігатися.

Збільшення їх обсягу в однієї підсистемі внаслідок певного процесу має приз­ водити до його зменшення в деякої іншій підсистемі завдяки тому самому про­

цесу. Останнє рівняння фактично є формою запису закону збереження маси.

Якщо вважати океан певним стабілізатором кількості вуглекислоти в ат­

мосфері, то можна вважати, що коефіцієнти а 32, а 24,а 42 є менттт мінливими по­

рівняно із а 13,а 14,а 41, тому у певному наближенні їх можна розглядати як сталі.

Враховуючи велику масу атмосферного кисню, можна також припустити, що вона змінюється відносно повільно, і при розгляді достатньо малих проміжків

часу коефіцієнти а 13,а 14,а 41 також можна вважати сталими. Гіпотеза про ста­

лість коефіцієнтів системи (3.1) суттєво спрощує її розв'язання і не впливає іс­ тотно на якісні результати. Але слід зазначити, що за зроблених припущень ми можемо отримати лише якісні оцінки.

Геологічні дані дають підстави вважати, що s(t) є зростаючою функцією, а

Праві частини диференціальних рівнянь моделі залежать тільки від змін­ них u та V. Тому спочатку можна розв'язати третє та четверте рівняння, а потім виразити з них інші змінні. Запишемо ці рівняння у простішому вигляді:

со

у (t + со) —у (t)

— (oc24 —a 42)(oc35 —a 13) —щ 2(a 45 + a 41 —ц 4 )J.

со

(3.8)

Зробимо такі припущення:

тобто а 42 < а 24;

-рослини втрачають більшу кількість речовини внаслідок її розсіювання

уземній корі, ніж вони отримують внаслідок засвоєння вуглекислоти, тобто

(Х45 + Ct42 > С^24 ’

- тварини розсіюють більшу кількість речовини, ніж вони отримують за рахунок засвоєння кисню, тобто а 35 > а 13.

За таких припущень, якщо абстрагуватися від періодичних коливань, з (3.8) випливає, що вільний кисень неперервно накопичується в атмосфері, а ву­ глекислий газ - виводиться з неї. З іншого боку:

s(t + со) - s(t) = const > 0.

Це означає, що втрачені атмосферою гази накопичуються у земній корі.

Зробимо інші припущення:

- рослини виділяють більшу кількість кисню, ніж засвоюють, тобто

Cti4 < (X4J ,

- рослини засвоюють меншу кількість вуглекислого газу, ніж виділяють,

тобто а 42 > а 24;

- тварини розсіюють меншу кількість речовини, ніж вони отримують за рахунок засвоєння кисню, тобто а 35 < а 13.

У цьому разі, якщо зневажити періодичними коливаннями, з (3.8) випли­ ває, що з часом запас вуглекислого газу в атмосфері буде зростати, а запас віль­ ного кисню - зменшуватися.

За припущень, що: Cti4 > (X4J ,

^24 ^42 ^ ^45 ^ ®14 ^41 ’

— сх35 > ct13,

одержимо висновок, що запас обох газів у атмосфері з часом буде зменшувати­ ся. Інші можливі варіанти співвідношень між коефіцієнтами ми розглядати не будемо, оскільки вони не відповідають відомим емпіричним даним.

Стосовно азоту органічний світ можна поділити на дві частини: організ­ ми, які спроможні зв'язувати атмосферний азот безпосередньо, та організми, що не можуть забезпечувати себе азотом без допомоги організмів попередньої гру­ пи. Припустимо існування певного симбіозу між організмами першої групи та рослинами й позначимо як z загальну кількість атмосферного азоту. Через х та у, як і у попередньому випадку, будемо позначати загальні кількості вільного атмосферного кисню і вуглекислого газу в атмосфері та океані. Зміст змінних и, v, s дещо змінимо і будемо вважати їх загальними масами всіх трьох компонен­ тів у тваринах, рослинах та розсіяних у земній корі, відповідно.

Кругообіг води враховувати не будемо, оскільки це призвело б до істот­ ного ускладнення рівнянь без зміни основних властивостей їх розв'язків. Кон­ цептуальну модель динаміки складу атмосфери, що враховує кругообіг азоту,

зображено на рис. 3.2.

їй відповідає така математична модель:

Розкладання тварин

Рис. 3.2. Концептуальна модель динаміки складу атмосфери, що враховує кругообіг азоту

Додатково можна прийняти такі припущення:

- загальна біомаса тварин за відсутності рослин зменшується, тобто: