Холмская экзамен / Моделювання систем

X01

о

Рис. 2.2. Залежність біомаси від часу для різних початкових умов

яка відображає той факт, що загальна кількість осіб у групі, що розглядається,

не змінюється з часом. При t = 0 виконується початкова умова х(0) = 1.

Розглянемо інтервал часу від t до t + d t. Кількість осіб, що захворіють у цей проміжок часу, можна взяти пропорційною величині dt, а також кількості зустрічей здорових і захворілих людей, тобто добутку x (t)y (t), або

X(t)(N - x ( t) ) . Звідси швидкість зростання кількості хворих може бути описа­ на математичною моделлю:

dt

де a - коефіцієнт пропорційності, що відображає імовірність захворювання здорової людини при її зустрічі з хворою.

Розв’язком цього рівняння при вказаній початковій умові є функція:

графік якої показано на рис. 2.3.

У всіх розглянутих випадках ми мали справу з просторово однорідними системами, або просторово однорідними полями з погляду математичного по­ дання параметрів цих систем. Зміну параметрів такого поля у часі можна пода­ ти як поведінку його окремої характерної точки.

2.7. Математичне подання систем з розподіленими параметрами

У багатьох випадках параметри поля можуть змінюватися не тільки у ча­ сі, а й у просторі. Відповідні системи називають системами з розподіленими параметрами. Математичним апаратом для подання таких систем є диференціа­ льні рівняння у частинних похідних, які мають такий загальний вигляд:

зовнішніх впливів (межовими умовами). У деяких випадках відповідне рівнян­ ня для подання системи можна отримати, використовуючи відомі з предметної області закони, що описують поведінку об’єкта дослідження.

Розглянемо процес теплопередачі вздовж тонкого стрижня, що нагріва­ ється з лівого боку. При цьому будемо нехтувати втратами теплоти. Візьмемо ділянку стрижня, обмежену точками х; та хі+1. Згідно із законом збереження енергії, зміна кількості теплоти q (tj+1) - q(tj j у досліджуваній ділянці за про­ міжок часу від tj до tj+1 визначається різницею теплових потоків через її бокові межі wi+1 - W;. Таким чином рівняння балансу теплоти для ділянки, що розгля­ дається, у j -й момент часу можна записати у вигляді:

Звідси отримуємо різницеве рівняння:

Переходячи до границі при (tj+1 - tj) —» 0, (хі+1 - х;) —» 0.

отримуємо відповідну модель у вигляді диференціального рівняння:

5q _ dw

(2.30)

dt дх

Враховуючи, що q = рсрТ, w = A.(dT/dx), де р, ср, X - густина, теплоємність й коефіцієнт теплопровідності, одержуємо рівняння теплопровідності у вигляді:

яке за умови сталості теплофізичних параметрів р, ср та X набуває вигляду, ана­ логічного (2.26) в одновимірному випадку:

відрізняючись від нього лише відсутністю члена F(x, t), який враховує межові умови.

2.8. Комп'ютерна реалізація математичних моделей систем

Сьогодні для дослідження математичних моделей складних систем най­ частіше використовують різноманітні технології комп'ютерного моделювання.

Поняття комп'ютерного моделювання не є тотожним поняттю математичного моделювання систем. З одного боку, важливою складовою математичного мо­ делювання є дослідження загальних властивостей моделей, для чого необхідно використовувати аналітичні методи дослідження. З іншого боку комп'ютерне моделювання дає змогу досліджувати не тільки математичні моделі складних систем, а й моделі деяких інших типів, зокрема імітаційні.

Під комп’ютерною моделлю зазвичай розуміють:

а) умовний образ певної системи об’єктів або процесів, поданий за допо­ могою взаємозалежних комп’ютерних таблиць, блок-схем, діаграм, графіків,

рисунків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів тощо, який відображає структу­ ру й взаємозв’язки між компонентами об’єкта дослідження; такі моделі нази­ вають структурно-функціональними;

б) окрему комп’ютерну програму, сукупність програм або програмний комплекс, що дає змогу за допомогою певної послідовності операцій і графіч­ ного відображення їх результатів відтворювати (імітувати) процеси функціону­ вання досліджуваного об’єкта, як правило, за наявності впливу випадкових фа­ кторів; такі моделі називають імітаційними.

Основні підходи до структурно-функціонального моделювання спочатку було розроблено у теорії електричних ланцюгів, електроніки й радіотехніки, де вперше почали застосовувати блок-схеми. Подальшого розвитку вони дістали у теорії автоматичного управління. Вона розробила достатньо загальну методо­ логію аналізу й синтезу структурних схем, яка ґрунтується на тому, що кожній математичній операції над сигналами приводиться у відповідність певний еле­ ментарний структурний блок.

Розроблений апарат має широке застосування в аналізі неперервних лі­ нійних динамічних систем, що можуть бути подані за допомогою диференціа­ льних рівнянь. Але він не придатний для опису процесів у соціально-

економічних та організаційних системах, де зв’язки між окремими блоками є більш складними й зазвичай не можуть бути зведені до певної функції часу. Він також є незручним у деяких інших випадках, коли поняття елементарного бло­ ка є істотно іншим, ніж в теорії автоматичного управління. Зокрема у деяких випадках ці блоки мають відповідати основним операціям машинної обробки даних - нагромадженню, сортуванню, передачі тощо. На сьогодні при розробці блок-схем використовують стандарти Єдиної системи програмної докумен­ тації (ЄСПД).

Подальшого розвитку методологія побудови й аналізу блок-схем дістала у теорії автоматизованих систем управління виробництвом (АСУВ). При цьому функції, виконувані блок-схемами, дещо змінилися порівняно із алгори­ тмами і програмами. Головним призначенням графічних символів при проекту­ ванні АСУВ є саме моделювання об’єкта автоматизації й процесів функціону­ вання самої системи. Основними символами є функціональні блоки, що відо­ бражають основні функції збору, нагромадження, передачі й обробки даних.

Поряд з ними до умовних графічних позначень включено символи, що дають змогу подавати різноманітні структури об’єктів управління. Розроблено спеціа­ льні стандарти, які регламентують склад, розміри й вигляд символів, а також правила їх застосування. У цілому сукупність символів для АСУВ і правил їх використання утворює найпростішу мову структурно-функціонального моде­

лювання, що застосовується при системному аналізі й проектуванні автомати­ зованих систем.

Сучасні методи структурно-функціонального аналізу й моделювання складних систем ґрунтуються на працях професора Массачусетського техноло­ гічного інституту Дугласа Росса, який вперше використав поняття структурного аналізу при створенні алгоритмічної мови модульного програмування APT. По­ дальший розвиток ідеї подання складних об’єктів як ієрархічних багаторівне­ вих модульних систем призвів до створення технології структурного аналізу й проектування SADT (Structured Analyses and Design Technique). Сьогодні во­ на успішно застосовується при вирішенні таких завдань, як вдосконалення управління фінансами й матеріально технічним забезпеченням крупних органі­ зацій; створення програмного забезпечення АСУ обчислювальними та телеко­ мунікаційними мережами; довгострокове й стратегічне планування діяльності установ тощо.

Відмінною рисою методології SADT є принцип побудови моделі зверху вниз. На першому етапі побудову ієрархії моделей починають з розробки до­ сить грубої (ескізної) моделі. Далі цю модель уточнюють, розробляючи більш докладні моделі окремих SADT-блоків вищого рівня ієрархії. При цьому інші блоки моделі можуть залишатися незмінними.

Ще однією відмінністю технології SADT є можливість одночасно із стру-

ктуруванням проблеми розробляти структуру бази даних з використанням мови

SQL. Виключно важливою особливістю технології SADT є можливість зведен­ ня моделі до кольорової сітки Петрі.

Таким чином, застосування технології SADT й відповідного програмного забезпечення дає змогу уніфікувати окремі блоки моделі складної системи, роз-

паралелити процес створення моделі та об’єднати побудовані модулі до єдиної ієрархічної динамічної моделі.

Одним з поширених засобів структурно-функціонального аналізу є пакет

"CASE-Аналітик". Він призначений для автоматизації проектування і впрова­ дження широкого класу систем обробки інформації й управління: інформацій­

но-обчислювальних мереж, організаційно-управлінських АСУ всіх рівнів, бан­ ківських та бухгалтерських систем, систем автоматизації експерименту й діло­ водства тощо.

В основі цього пакету лежать засоби побудови строгої та наочної струк­ турно-функціональної моделі системи, яка є ієрархією діаграм потоків інфор­ мації та функціональних зв’язків, що автоматично відображаються у базі да­ них. Пакет дає змогу будувати й редагувати потокові діаграми, здійснювати пошук за діаграмами та даними, експортувати й імпортувати дані з інших паке­ тів, а також оформлювати проектну документацію відповідно до вимог станда­ ртів.

Подібні програмні засоби зазвичай крім засобів структурно-логічного моделювання містять засоби моделювання й проектування баз даних, вартісно­ го аналізу, оцінювання ризиків, контролю й управління реалізацією проектів.

Контрольні питання

1.Що називають математичною моделлю системи?

2.Назвіть та охарактеризуйте основні методи дослідження математич­

них моделей.

3. Які моделі називають статичними? Наведіть приклади статичних ма­ тематичних моделей.

4.Які моделі називають динамічними? Наведіть приклади динамічних математичних моделей.

5.Які моделі називають детермінованими? Наведіть приклади детермі­

нованих математичних моделей.

6.Який математичний апарат найчастіше застосовують для побудови детермінованих математичних моделей?

7.Які моделі називають стохастичними? Наведіть приклади стохастич-

них математичних моделей.

8. Який математичний апарат найчастіше застосовують для побудови

стохастичних математичних моделей?

24.Які математичні задачі називають некоректними? Наведіть приклади некоректних математичних задач.

25.Що називають стійкістю розв'язку? Чому розв'язки задач, одержува­

них при чисельному дослідженні математичних моделей мають бути стійкими?

26.Що називають аналоговим дослідженням математичних моделей? Як можна реалізувати таке дослідження на практиці?

27.Якими є основні складові похибки моделювання?

28.Що називають похибкою математичної моделі, якими є її основні джерела, як можна зменшити цю похибку?

29.Що називають похибкою емпіричних даних, якими є її основні дже­

рела, як можна зменшити цю похибку?

30. Що називають похибкою розрахункового алгоритму, якими є її осно­

вні джерела, як можна зменшити цю похибку?

31.Що називають похибкою обчислювань, якими є її основні джерела, як можна зменшити цю похибку?

32.Які складові похибки моделювання є усувними, і які з них є неусув­

ними?

33.Чому при побудові моделі прагнуть до балансу похибок різного типу?

34.Які способи найчастіше використовують для подання математичних моделей систем?

35.На які основні підмножини поділяють сукупність величин, що описує функціонування системи?

36.Наведіть приклади типових математичних схем, які використовують для подання систем різного типу.

37.Якими є основні етапи побудови математичної моделі системи?

38.Якими є основні підходи до визначення структури моделі і способів математичного подання її окремих блоків?

39.Як оцінюють якість алгоритму чисельного дослідження математичної

моделі?