Холмская экзамен / Моделювання систем

при обмеженнях:

а м Уі + a N2 y 2 + ••• + a NMX M = C N —

Уі > 0 (і = 1,2,...,М).

Дві екстремальні задачі називають еквівалентними, якщо множини їх розв’язків збігаються (у тому числі, якщо вони обидві є пустими).

Пряма і двоїста задачі лінійного програмування або обидві мають опти­ мальні точки х*, у*, і тоді:

або обидві їх не мають.

Приклади ЗЛП

Розробка плану виробництва. Для виготовлення N видів продукції під­ приємство може використовувати М видів сировини. Є відомими запаси сиро­ вини, кількість сировини кожного виду, потрібна для виготовлення одиниці продукції, а також прибуток, одержуваний від реалізації одиниці продукції.

Необхідно визначити план виробництва (тобто обсяги випуску кожного виду продукції), що забезпечує максимальний прибуток.

Для побудови математичної моделі позначимо: х; —кількість одиниць продукції і-го типу; а^ —кількість одиниць сировини j-ro типу, потрібна для ви­ готовлення одиниці продукції і-го типу; Ь, —запаси сировини j-ro типу; с, —

прибуток, одержуваний від реалізації одиниці продукції і-го типу.

Цільову функцію можемо записати у вигляді:

Система обмежень матиме вигляд:

(6.45)

х ,> 0 (і = 1,2,...,N); b j> 0 (j=l,2,...,M ).

Задача про раціон. У раціоні харчування необхідно передбачити спожи­ вання М видів харчувальних речовин у кількості не менше Ь, для j -ої речовини.

При цьому можна використовувати N видів вихідних продуктів. Є відомими кі­ лькість харчувальної речовини j-ro типу у продукті і-го типу (а^) та вартості одиниці і-го вихідного продукту (С і).

Необхідно визначити раціон мінімальної вартості.

Математична модель має такий вигляд:

f(x) = CjXj + с 2х 2 + ... + cNx N—»min;

(6.46)

Множину невід’ємних розв’язків системи обмежень називають допусти­ мими планами ЗЛП. Можна довести, що множина L усіх допустимих планів є або опуклою, або порожньою. З погляду геометрії вона є відкритим або замкне­ ним опуклим багатогранником.

Будь-яку ЗЛП можна звести до канонічного вигляду. Для цього уводять додаткові (так звані "слабкі") змінні. Нехай вихідне j -те обмеження має вигляд:

N

І=1

Уводячи нову слабку змінну у^ > 0 , ми можемо записати його як рівність:

N

і—1

Якщо доданки у (6.48) є певним ресурсом, то значення у матиме значення залишку цього ресурсу.

У разі, коли вихідне j -те обмеження задається як:

і=1

то, уводячи нову слабку змінну yj > 0 , можна перетворити його до рівності:

N

і—1

Якщо права частина якогось із обмежень є від’ємною, то її завжди можна зробити додатною, помножуючи обидві частини на —1.

Якщо на певну керовану змінну за змістом задачі не накладають обме­ ження X; > 0 , то її завжди можна подати як різницю двох невід’ємних змінних ха та хь:

Цю підстановку необхідно застосовувати у всіх обмеженнях, які містять змінну х;, а також у цільовій функції. При цьому для від’ємних значень х, бе­ руть: ха = 0; хь > 0 , а для додатних - ха > 0; хь = 0 .

Канонічну систему обмежень називають:

♦сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок;

♦несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку;

♦надлишковою, якщо хоча б одне із обмежень можна виразити через

інші.

У подальшому будемо вважати, що система обмежень є сумісною й не надлишковою.

Звідси випливає, що у задачах лінійного програмування кількість змінних має бути більшою за кількість рівнянь у системі обмежень (N > М). У зв’язку з цим для розв’язання ЗЛП серед усіх змінних виділяють М базисних та Р = N - М вільних, так, щоб матриця коефіцієнтів Ав при базисних змінних була невиродженою, і записують систему обмежень у вигляді:

де Y = (у1,у 2,...,ум) - базисні змінні, Z = (z1,z2,...,zM) - вільні змінні, Ав, АР -

матриці коефіцієнтів розміром М х М та М х Р , відповідно.

У подальшому вільні змінні розглядають як незалежні і переносять їх до правої частини лінійних обмежень:

Базисні змінні розглядають як залежні і визначають їх значення за допо­ могою перетворення:

Систему (6.54) часто називають системою обмежень, записаною у базис­ ному вигляді, а змінні Y —базисом.

Система (6.53) може мати нескінченну кількість розв’язків (допустимих планів). Оскільки множина (непуста) допустимих планів є опуклою, будь-який знайдений екстремум буде глобальним. Якщо область допустимих значень є необмеженою за певними змінними, то уводять додаткові (замикальні) обме-

N

ження вигляду 2>,<к. При обранні достатньо великих значень К такі обме-

і—1

ження практично не спотворюють змісту задачі і не впливають на її розв’язок.

Допустимий розв’язок, для котрого усі вільні змінні дорівнюють нулю,

називають базисним розв’язком або опорним планом. Кількість базисних розв’язків дорівнює С ^ . Якщо у базисному розв’язку кількість додатних змін­ них є меншою за М, то його називають виродженим. Можна довести, що базис­ ні розв’язки є вершинами опуклої багатогранної області допустимих планів.

Допустимий розв’язок, за якого цільова функція досягає свого мінімуму або максимуму, називають оптимальним планом. Оптимальний план завжди є базисним розв’язком.

Базисний розв’язок канонічної ЗЛП називають невиродженим, якщо усі вільні члени системи обмежень (6.53) є додатними, і виродженим, якщо серед них є хоча б одне нульове значення.

Канонічну ЗЛП називають невиродженою, якщо усі її базисні розв’язки є невиродженими, і виродженою, якщо є виродженим хоча б один з базисних розв’язків.

Якщо цільова функція має екстремум у декількох вершинах багатогран­ ника допустимих розв’язків, то вона досягає того самого значення у будь-якій точці, яка є їх лінійною комбінацією.

де сХу,|3j - параметри, одержувані при розв’язанні системи (6.55).

Система (6.56) визначає допустимі розв’язки, якщо базисні змінні

хІ5...,хм є невід’ємними за невід’ємних значень вільних змінних хм+1,...,хм+р.

Якщо ж невід’ємними є параметри (3j, то за умови х м+1 =... = хм+р = 0 ця систе­ ма визначає базисний розв’язок. Від’ємні значення одного або декількох пара­ метрів Pj свідчать про те, що поділ змінних на базисні та вільні був невдалим, і

необхідно обрати інший варіант поділу.

Цільову функцію необхідно виразити через вільні змінні і записати у ви­

гляді:

(6.57)

де d|. - коефіцієнти, одержувані при підстановці (6.56) до (6.44).

Оскільки екстремум цільової функції досягається на одному з базисних розв’язків, то мінімуму (максимуму) має відповідати невід’ємність (недодат-

ність) усіх коефіцієнтів d|;. Якщо ця умова не виконується, то наявність від’ємних (додатних) коефіцієнтів призведе до зменшення (збільшення) зна­ чення цільової функції порівняно з базисним розв’язком при невід’ємних зна­ ченнях відповідних вільних змінних. У разі, коли отриманий набір коефіцієнтів d|; містить хоча б одне від’ємне (додатне) значення, то необхідно обрати інший набір базисних змінних і повторити процес розв’язання. Це здійснюється, доки не буде отримано базисний розв’язок, для якого всі коефіцієнти d|; цільової фу­ нкції будуть невід’ємними (недодатними). Повна кількість можливих варіантів збігається з кількістю можливих базисних планів С ^ , тому метод перебору мо­ жна використовувати лише за достатньо малих значень М та N, що досить рідко виконується для реальних задач.

Графічний метод базується на геометричній інтерпретації ЗЛП. У випа­ дку двох змінних будь-яке рівняння вигляду

задає на площині пряму, а нерівність вигляду

—півплощину.

Побудувавши усі півплощини, які задає система обмежень ЗЛП, одержи­ мо, як їх перетин, багатокутник розв’язків. З урахуванням неосновних обме­ жень він буде розмішуватися у першій чверті координатної площини.

Лінії рівня цільової функції задає рівняння:

Напрям найшвидшого зростання цільової функції задає її градієнт, а на­ прям її найшвидшого згасання —антиградієнт. Обидва ці вектори перпендику­ лярні лініям рівня. З визначення градієнта випливає, що g = (cj;c2) .

Для знаходження точки мінімуму цільової функції необхідно спочатку побудувати одну з її ліній рівня. Зазвичай беруть лінію CjXj + с2х2 = 0, яка про­ ходить через початок координат. Після цього її перемішують у напрямі градієн­ та або антиградієнта доки вона не перетне першу або останню (залежно від ви­ гляду цільової функції та шуканого екстремуму) у відповідному напрямі точку багатокутника розв’язків. Є можливою ситуація, коли через цю точку прохо­ дить сторона багатокутника розв’язків, паралельна лініям рівня. Тоді усі точки,

що лежать на цій стороні, будуть точками відповідного екстремуму цільової функції. Також можливо, що багатокутник розв’язків є необмеженим, й тоді ці­ льова функція не має екстремуму, тобто minf (X) = - о о або m axf (X) = +оо.

ЗЛП не має розв’язків, якщо:

♦ не існує багатокутника розв’язків, тобто система обмежень не має об­ ласті невід’ємних розв’язків;

♦ лінія рівня перетинає необмежений багатокутник розв'язків, не торка­ ючись його у жодній кутовій точці.

Розглянемо такий приклад. Для виготовлення двох видів продукції Pj та Р2 використовують три види сировини: Si, S2 та S3. Цільовою функцією є f (X) = 50xj + 30х2. Система обмежень:

Необхідно знайти, якими мають бути обсяги вироблення продуктів, щоб цільова функція була максимальною.

На рис. 6.5 показано графічний розв’язок ЗЛП. Спочатку будуємо відо-

кремлювальну пряму h l : 5 х 1+ 6х 2 = ЗО. Для обрання півплощини розв’язку не­ рівності обираємо будь-яку точку, наприклад (0, 0), і перевіряємо, чи викону­ ється для неї нерівність. Якщо так, обираємо півплощину, у якій лежить ця точ­ ка, якщо ні —обираємо іншу півплотттину.

Потім аналогічно будуємо відокремлювальні прямі L2: 7х, + 5х2 =35 та

L3: 4xj + 9 х 2 =36 і обираємо півплощини розв’язків. Враховуючи неосновні обмеження, отримуємо п’ятикутник, який на рисунку виділений жирними ліні­ ями.

Будуємо лінію рівня f (X) = 50х, +30х2 = 0 . Вона проходить через точку

(0; 0) перпендикулярно до градієнта g = (50;30). На рис. 6.5 замість градієнта побудовано сонаправлений йому вектор g, = (5;3).