Холмская экзамен / Моделювання систем
.pdf10. У чому полягає сутність програмних способів генерування послідов ностей випадкових чисел, якими є їх основні переваги й недоліки?
11. У чому полягає сутність алгоритму фон Неймана генерування рівно мірних випадкових послідовностей?
12.Яким є алгоритм методу остач генерування рівномірних випадкових послідовностей?
13.Які властивості використовують для перевірки якості згенерованих псевдовипадкових послідовностей?
14.Як перевірити випадковість елементів побудованої випадкової послі
довності?
15. Як перевірити відповідність елементів згенерованої випадкової послі довності заданому закону розподілу?
16. Як можна отримати аналітичну формулу, що перетворює елементи рі вномірної випадкової послідовності в елементи випадкової послідовності із за даним законом розподілу?
17. Яким є алгоритм методу відбору генерування випадкових послідовно стей із заданим законом розподілу?
18. Яким є алгоритм генерування випадкових послідовностей із заданим законом розподілу, що ґрунтується на наближенні істинного розподілу рівномі рним на малих відрізках?
19.Які спеціальні методи використовують для генерування випадкових послідовностей із стандартним нормальним розподілом?
20.Як перетворити послідовність із стандартним нормальним розподілом до послідовності, що відповідає нормальному розподілу з довільними матема
тичним сподіванням і дисперсією?
21. Поясніть алгоритми генерування випадкових послідовностей, що під порядковуються основним типам законів розподілу?
22. Які вбудовані засоби генерування випадкових послідовностей перед бачені в електронних таблицях MS Excel, мовах програмування Pascal та C++?
Нехай функція f(X) визначена в області О N-вимірного простору RN, де
X = (xl5x 2,...,xN) є О, і набуває значення на певному інтервалі Of дійсної вісі.
Точку Y = (yj ,y2,...,yN) називають точкою локального мінімуму (мак
симуму) f(X), якщо існує таке s > 0, що нерівність |
|
||
f( Y ) < f( Y + 8X) |
(f(Y )> f(Y + 5Х)) |
(6.3) |
|
виконується |
для усіх |
5X = ( 5 x 1, 5 x 2, . . . , 5 x n ) , щ о |
задовольняють нерівності |
0 < | 5 х і | < £ . |
Значення функції у цій точці називають локальним мінімумом |
||
(максимумом) функції.
Якщо нерівність (6.3) виконується строго, то мінімум (максимум) нази вають строгим, у протилежному випадку —нестрогим.
Точку Y єО називають точкою глобального мінімуму (максимуму)
функції f(X), якщо нерівність (6.3) виконується для усіх Х є О. Точка глобаль ного екстремуму функції завжди є й точкою її локального екстремуму, а число f(Y) - точною нижньою (верхньою) межею множини значень f(X). Зворотні твердження можуть виявитися помилковими. Функції, що мають єдиний міні мум (максимум), називають унімодальними.
Очевидно, що строгий глобальний максимум є єдиним.
Узагальному вигляді задача оптимізації ставиться так. Нехай задані:
-функція f(X), визначена на множині O c R N;
-множина D с R N (ця множина відображає наявність змістових обме
жень на значення незалежних змінних, наприклад те, що термін виконання пев ної операції не може бути від'ємною величиною).
Необхідно знайти точку Y = (y1,y2,...,yN) є D, в якій функція f(X) сягає екстремального значення, тобто:
f(Y ) = extrf(X), Y g D |
(6.4) |
Функцію f(X) називають цільовою функцією, змінні X —керованими змінними, D —допустимою множиною, будь-який набір значень Y є D —до пустимим розв'язком задачі оптимізації.
Теорема Вейєрштрасса. Нехай допустима множина D є компактною
(тобто обмеженою та замкненою) й непустою. Тоді визначена на неї неперервна цільова функція f(X) набуває глобального максимуму у внутрішній або межовій точці множини D.
Доведення цього твердження випливає з того, що образ неперервної фун кції, визначеної на компактній множині, також є компактним. Будь-яка компак тна множина дійсних чисел має точні верхню та нижню грані. Вони досягають ся у певних точках множини D, які і є, відповідно, точками глобальних макси муму та мінімуму f(X) на заданій множині.
Умови теореми Вейєрштрасса є достатніми але не необхідними для існу вання глобального екстремуму. Зокрема не існує глобальних мінімуму та мак симуму функції f(x) = x на інтервалі (0, і), який є незамкненою множиною.
Це пов’язано з тим, що точні нижня та верхня грані множини значень функції досягаються у точках 0 та 1, відповідно, які не належать інтервалу (0, і ) . З ін шого боку, функція f (х) = sinx має глобальні максимум та мінімум на інтерва лі ( - 2, і ) , який також є незамкненим.
Точка Y, у якій f(X) сягає екстремуму, має належати О П D • Якщо О = D = R n , тобто множини О та D збігаються з простором RN і немає будь яких обмежень на значення компонентів вектора X, то задачу оптимізації нази вають задачею на безумовний екстремум. Якщо хоча б одна із множин О або D
є власною підмножиною RN (О с RN або D a R N, тобто значення компонентів вектора X обмежені або областю визначення функції f(X), або допустимою множиною), і О П D Ф0 , то її називають задачею на умовний екстремум. Якщо О П D = 0 , точка екстремуму не існує. Якщо перетином множин О і D є єдина точка Y, то вона і є точкою екстремуму.
У задачах на умовний екстремум часто задають не допустиму множину
D, а систему співвідношень:
) < ( > , = ) 0, j = l,2,...,M, |
(6.5) |
яка її визначає.
Функції \)). називають обмеженнями. Якщо деякі обмеження є наслідка ми інших, їх називають надлишковими. Якщо у точці умовного екстремуму певне обмеження (нерівність) виконується як рівність, то ресурс, що його поро джує, називають дефіцитним, а обмеження - активним. Якщо ж воно викону ється як строга нерівність, відповідний ресурс називають бездефіцитним, а об меження —пасивним. Обмеження-рівності завжди є активними.
Якщо точка Y безумовного локального екстремуму функції f(X) знахо диться всередині множини допустимих значень D, то обмеження виконуються автоматично. Якщо ж Y знаходиться поза межами D, то точка умовного лока льного екстремуму потрапляє на межу множини D, а обмеження-нерівності пе ретворюються у рівності.
У задачах тільки з обмеженнями-рівностями кількість обмежень М має бути меншою за кількість змінних N. При М > N задача не має розв'язків, або частина обмежень є надлишковою. Якщо М = N, то допустимий розв'язок, як правило, є єдиним.
Необхідна умова екстремуму. Нехай функція f(X) задана на RN і дифе ренційована у певній точці Y = (у,,у2,...,ух ) є Rx . Якщо у цій точці функція має локальний екстремум, то:
gradf (Y) = ej |
(6 .6 ) |
де e; —одиничні вектори, що задають напрями координатних осей, та
N N
Qo(X) = Z Z x
і=і j=i
л2г / \ |
N |
N |
|
, - i - i x |
J = X Z h , Jx,xJ , |
(6 .1 1 ) |
|
5X;5Xj |
i=l |
j=l |
|
де hjj є компонентами матриці Гессе. Матриця Гессе називається додатно (ві
д'ємно) визначеною в точці Х°, якщо для будь-якої точки X, крім X = 0, її ква дратична форма Q0(X) > о (Q»(x) <0). Матриця Гессе називається додатно
(від'ємно) напіввизначеною, або, відповідно, невід'ємно (недодатно) визна ченою в точці Х°, якщо для будь-якої точки X, крім X = 0, її квадратична форма
Q „(X )>0 (Qo (X) < О). Матриця Гессе називається невизначеною в точці Х°,
якщо знак її квадратичної форми є різним у різних точках X.
Нагадаємо, що головними мінорами довільної квадратної матриці А по рядку N xN називають її мінори порядку 1, 2, ..., N, розташовані у її лівому верхньому куті:
а!1 |
аі2 |
аіз |
|
Mj = ап; М2 = ап аі2 ; м 3 = а 21 а 22 |
а23 |
(6.12) |
|
а21 а 22 |
а32 |
азз |
|
азі |
|
||
Знаковизначеність будь-якої матриці А може бути перевірено за допомо гою умов Сильвестра, згідно з якими вона є:
-додатно визначеною, якщо усі її головні мінори М,(А) є додатними;
-від'ємно визначеною, якщо знак її k-го головного мінору М|; збігається
із знаком ( - l) k;
- додатно напіввизначеною, якщо А є виродженою матрицею (|А| = 0),
та усі її головні мінори М,(А) є невід'ємними;
- від'ємно напіввизначеною, якщо знак її k-го головного мінору М|. збі гається із знаком ( - l) k або його значення дорівнює нулю.