Холмская экзамен / Моделювання систем
.pdfЧергові реалізації W; розподілу Вейбула з параметрами масштабу b та форми с можна одержати із відповідних елементів рівномірної послідовності за формулою:
(5.51)
Чергові реалізації L, логістичного розподілу можна одержати із відпові дних елементів рівномірної послідовності за допомогою перетворення:
L- = a + kln |
(5.52) |
де а - параметр розміщення, k = л/зЬ/ті —коефіцієнт масштабу, b - стандартне відхилення.
5.5. Моделювання багатовимірних випадкових векторів
\ т |
’ |
w |
N-вимірнии випадковіш вектор можна задати як сукупність його компо- |
||
нент X = (гір г\2, ..., г|п), де компоненти вектора г|, є випадковими величинами |
||
із заданим законом розподілу. Завданням моделювання є одержання послідов
ності чергових реалізацій випадкового вектора Х ь Х2, |
X,, ... у вигляді пос- |
ЛІДОВНОСТІ чисел (г|), Г|2, ---, Лп), ("Пі2? Лг? •••>гІп)> •••’ |
(лі’ ^ 2’ •••’ Г1п) 5 ••• -Якщо |
компоненти вектора незалежні одна від одної, то доцільно здійснювати генеру вання кожної компоненти як незалежної випадкової послідовності із заданим законом розподілу. Перед використанням отриманих реалізацій випадкового вектора необхідно перевірити відсутність кореляції між сукупностями випадко вих чисел, що генеруються.
Складнішою є задача моделювання випадкового вектора за наявності ко реляції (залежності) між його компонентами. Кореляційну залежність між ком
понентами нормального випадкового вектора можна задати через матрицю дру гих моментів:
K = {pij} ( i J = |
">n)> |
(5.53) |
ДЄ
a ; , |
якщо і = j |
Pii=i M |
(5.54) |
(Пі - a i)(rlj - a j) , якщо 1 Ф J . |
Матриця K є симетричною стосовно головної діагоналі оскільки p;j = pj;.
Нехай X - це двовимірний випадковий вектор, компоненти якого г|і і г\2
мають математичні сподівання а\ і а2. Матриця других моментів:
К |
(5.55) |
ДЄ р - P i2 - P21-
Згенеруємо дві незалежні нормальні послідовності випадкових чисел jiii і jii2, математичні сподівання яких дорівнюють нулю, а дисперсії - одиниці. З них можна одержати дві нові нормальні послідовності за допомогою перетворень:
Лі =ащ, |
(5.56) |
< |
|
Г|2 = bjLlj |
+ С \1 2 . |
Оберемо коефіцієнти а, Ь, с такими, щоб виконувалися умови:
М Л і = а 12 ; М Л2 = о 2 ; М Л1 Л2 = р |
(5.57) |
Враховуючи (5.56), одержимо:
м Лі = а2м [щ 2] = а2;
м |
л2 |
= Ь2м [ ц12] + 2ЬсМ [ ц1ц2] + с2м [ ц2] = Ь 2 + с2 ; |
м |
Л іЛ 2 |
abM [|і2] + асМ [ц,ц2] = ab. |
Звідси маємо систему:
2___ . 2 .
а—(Tj ,
і |
2. 2 |
2. |
D |
+ С |
— (32 , |
ab = р,
розв’язком якої є:
Сті, b = — , с |
2 |
2 |
y R |
2 |
|
|
|
ст,
Тому:
Лі = °іШ ;
1—2 2 ~2
л2 ■^ 11, + ^' 1 2 Р щ.
(5.58)
(5.59)
(5.60)
(5.61)
Реалізації вихідних випадкових величин ГЦ і г|2 можна одержати за допо могою перетворень:
Для тривимірного випадкового вектора (т|і, г|2, г|3) матриця других момен тів має вигляд:
( гт2 |
Рі2 |
\ |
|
а 1 |
Різ |
|
|
к = Рі2 |
СТ2 |
Р23 . |
(5.63) |
vPl3 |
Р23 |
а 2 |
|
3 |
|
Реалізації тривимірного випадкового вектора можна одержати за допомо гою перетворень:
rjj = ц 1+ а 1= ащ + ах; |
|
|
ГІ2=ГІ2+ а 2 = |
+ СМ'2 + а2 j |
(5.64) |
Л3= Л3+ аз = |
+ е М"2 + |
+ аз • |
де ці, jii2, Цз - незалежні нормально розподілені випадкові послідовності, для яких математичні сподівання дорівнюють нулю, а дисперсії - одиниці.
Другі моменти розподілу дорівнюють:
М Лі |
= м [ а 2щ2] = а2; |
|
|
М |
л2 |
= М [Ь2ц2 + 2Ьсщ|і2 + с2\±2] = Ь2 + с2; |
|
М |
Лз |
= M [d2|i2 + е2ц2 + f 2|^ +2de|i1|i2 +2df|i1|i3 + 2 |
єҐ|і2ііз] |
|
|
= d2 |
+ e 2 + f" |
М Л іЛ 2 М [ab|i2 + асщ|і2] = ab;
м
м
Лі Л з
Л2 Л з
: М [асіщ2 + аец, ц2 + аґд, ц3] = ad;
^M^bdii2 +Ьец1|і2 +bf|jj|i3 +cd|i1|i2 +се|і^ +cf|a2|jjJ =bd+ce.
(5.65)
Звідси одержуємо систему шести рівнянь з шістьома змінними:
а'і ’
Ь2 + с 2 |
'2 |
■> |
|
|
d 2 - _2 - г»2 |
__2 . |
|
||
|
+ е + 1 |
= а, ; |
(5.66) |
|
ab |
р^2 5 |
|
||
|
|
|||
ad |
Pjj |
, |
|
|
bd + се = p23 , |
|
|||
розв’язуючи яку можна знайти коефіцієнти а, Ь, с, необхідні для побудови три вимірного випадкового вектора (г|ь ц2, г|3).
5.6.Порівняння деяких алгоритмів генерування випадкових послідо
вностей
Як було зазначено вище, переважна більшість алгоритмів генерування випадкових послідовностей із заданими законами розподілу передбачає попе редню побудову послідовностей, елементи яких підпорядковуються рівномір ному розподілу на відрізку [0; 1]. Існує велика кількість методів їх генерування,
що зумовлено суперечливими вимогами до одержуваних послідовностей. З од ного боку, відповідний алгоритм повинен забезпечувати необхідну якість пос лідовності. При цьому поняття якості істотно залежить від того, де вона буде використовуватися надалі. З іншого боку, враховуючи, що побудова випадкової послідовності є лише попереднім етапом дослідження, застосовуваний алго ритм має бути таким, що не виявляє істотного впливу на потрібні для моделю вання ресурси пам’яті ЕОМ, часу тощо. Далі будуть наведені результати порів няння якості рівномірних випадкових послідовностей, заданих на відрізку [0,
1], що отримані методом остач; за допомогою вбудованого генератора елект
Рис 5.8. Графік функції розподілу побудованої псевдовипадкової послідо вності (пунктиром показано теоретичну функцію розподілу)
У цьому випадку ми можемо розрахувати математичне сподівання, для
якого відомо його теоретичне значення vm = J 8kT , де k - стала Больцмана, Т -
V літі
температура, m маса частинки газу. У нашому випадку відмінність середнього арифметичного вибірки відрізняється від теоретичного математичного споді вання лише на 1,1%, а різниця вибіркової середньоквадратичної швидкості від відповідного теоретичного значення є ще меншою - близько 0,7%. Але застосо вувати тести, що ґрунтуються на порівнянні середнього арифметичного вибірки з теоретичним значенням математичного сподівання у цьому разі неможливо,
оскільки ці тести передбачають, |
що вибірка підпорядковується нормальному |
|||||
• |
т Т 1'__ |
* |
■ |
^ |
■V' |
V' |
закону розподілу. |
Найпростішим з непараметричних тестів є х -критерій, якии у |
|||||
даному випадку дає імовірність відповідності генерованої послідовності розпо ділу Максвелла для температури 300 К, рівну 0,19. Тобто більш імовірним є те,
що вона не відповідає заданому закону розподілу. Це збігається із зробленим раніше висновком про наявність систематичних відхилень емпіричної функції розподілу від теоретичної.
Іншим тестом, який можна використати для перевірки відповідності зге-
нерованої послідовності заданому закону розподілу є критерій згоди Колмого-
рова - Смирнова, що ґрунтується на визначенні максимальної за модулем різ ниці між емпіричною та теоретичною функціями розподілу. У нашому випадку він дає імовірність відповідності не більше, ніж 0,43. Це також свідчить про не достатню якість отриманої послідовності. Причинами цього можуть бути недо статня кількість елементів рівномірної вихідної послідовності, а також надмір на простота використаних алгоритмів. Слід зазначити, що придатність отрима ної послідовності для подальшого використання залежить від конкретного за вдання дослідження. У багатьох випадках вона може виявитися цілком задові льною. Зокрема, вона є достатньою для отримання основних якісних закономі рностей процесів, що вивчаються.
Контрольні питання
1.У чому полягає сутність методу Монте-Карло?
2.Чим можуть бути зумовлені похибки результатів при використанні методу Монте-Карло?
3.Як можна підвищити точність результатів моделювання при викорис
танні методу Монте-Карло?
4.Якою є функція щільності довільного рівномірного розподілу?
5.Якими є математичне сподівання й дисперсія для довільного рівномі
рного розподілу?
6. Як визначити імовірність потрапляння випадкової величини до певно го інтервалу при відомій функції щільності розподілу?
7. Як визначити імовірність потрапляння випадкової величини до певно го інтервалу при відомій функції розподілу?
8. У чому полягає сутність табличного способу генерування послідовно стей випадкових чисел, якими є основні переваги й недоліки цього способу?
9. У чому полягає сутність фізичних способів генерування послідовнос тей випадкових чисел, якими є їх основні переваги й недоліки?