Холмская экзамен / Моделювання систем

та

Випадкову величину, що має рівномірний розподіл на відрізку [0, 1] далі будемо позначати літерою Ймовірність її потрапляння до певного інтервалу,

що лежить усередині відрізку [0, 1],

тобто дорівнює довжині цього інтервалу. Цю властивість можна використову­ вати як необхідну й достатню умову того, що деяка випадкова величина має рі­ вномірний розподіл на відрізку [0, 1].

Генерування чергових реалізацій рівномірно розподіленої випадкової ве­

де z; - реалізація випадкової величини z, яка з рівною ймовірністю pz = 0,5 може набувати значення 0 або 1.

Випадкова величина може мати нескінченну кількість реалізацій. Але при запису чисел у ЕОМ використовується скінченна кількість двійкових роз­ рядів. Тому кількість реалізацій випадкової величини, які можна використову­ вати при моделюванні, також буде скінченною. Максимальна кількість випад­ кових чисел, що записуються за допомогою k двійкових розрядів і не збігають­ ся одне з одним, дорівнює 2к. Із сукупності чисел 0, І, 2, ..., 2к - 1 можна одер­ жати такі значення дискретної випадкової величини L;.

(5.6)

їх імовірності дорівнюють р; = 1/2к. Розподіл такої випадкової величини є квазірівномірним. Його моменти дорівнюють:

(5.7)

Для генерування рівномірно розподілених послідовностей випадкових чисел розроблено три способи: табличний, фізичний та програмний. У першому випадку використовують таблиці випадкових величин, одержаних за допомо­ гою фізичного або програмного генератора випадкових чисел. Такі таблиці мо­ жуть містити велику кількість випадкових чисел і зберігатися на паперових або електронних носіях. їх використовують при ручних розрахунках, а також при налагодженні програм та перевірці особливо важливих результатів.

Для фізичної генерації випадкових чисел можна використовувати довіль­ ний випадковий фізичний процес. Найчастіше користуються джерелами радіоа­ ктивного випромінювання або власними шумами електронних компонентів ЕОМ. У першому випадку задають певний проміжок часу At. Потім підрахову­

ють кількість k частинок, випромінених за проміжок часу At;. Значення ^ роз­ раховують по формулі 5.5. При цьому беруть:

Проміжок At має бути достатньо великим, для того щоб імовірності оде­ ржання парних і непарних значень k були рівними з достатнім ступенем точно­ сті.

Якщо використовують шуми електронних компонентів, то необхідно спо­ чатку побудувати залежність вихідної напруги від часу за достатньо великий проміжок часу (рис. 5.1).

и

t

Рис. 5.1. Схематична залежність вихідної напруги від часу, що викорис­ товується для генерування випадкових чисел

Після цього знаходять рівень відтинання для якого виконується умова випадкової величини z, визначають через

рівні проміжки часу At за умовою:

Будемо вважати m парним числом. Така умова завжди виконується для сучасних ЕОМ. Наступне псевдовипадкове число ^к+і одержимо, використову­ ючи коефіцієнти середніх членів ряду 5.9, по формулі:

Одержувана за таким алгоритмом послідовність псевдовипадкових чисел за своїми властивостями близька до рівномірної випадкової послідовності, але кількість малих чисел в ній є дещо вищою, ніж це має бути для останньої.

Метод остач. У цьому випадку для одержання рівномірної послідовності псевдовипадкових чисел використовують рекурентне співвідношення с,к+| = |Мс,кj , де хвилястими дужками позначено дробову частину числа. Як по­ чаткове значення tf) можна взяти число 2 ш, де m є числом двійкових розрядів у мантисі комірки ЕОМ. М має бути достатньо великим цілим числом. Рекомен­ дується використовувати М = 52р + 1, де р є максимальним із цілих чисел, для яких виконується умова 52р+1 < 2т .

У таблиці 5.1 вказано деякі переваги та недоліки основних методів гене­ рування випадкових чисел.

Після одержання рівномірної випадкової послідовності необхідно переві­ рити її якість. Використовують такі методи перевірки.

Перевірка за моментами розподілу. Для її здійснення розраховують моменти одержаного розподілу:

(5.11)

пристроїв.

Для послідовності псевдовипадкових чисел, що розподілені на відрізку

[0,і] їх значення мають бути близькими відповідно до 1/2 та 1/12.

Перевірку гіпотези про рівномірний розподіл можна здійснити за допомо­ гою критерію %2, порівнюючи частоти потрапляння елементів отриманої послі­ довності до певних інтервалів з їх очікуваними значеннями, або за критерієм згоди Колмогорова-Смірнова, що ґрунтується на визначенні найбільшого за

модулем відхилення емпіричної функції розподілу від теоретичної.

Вказані критерії розглядалися в курсі теорії ймовірностей та математич­ ної статистики. Зауважимо лише, що при обранні рівня значущості слід врахо­ вувати, яка помилка для конкретної задачі є більш суттєвою - прийняття поми­

лкової гіпотези чи неприйняття правильної гіпотези.

Перевірка за гістограмою. У цьому випадку відрізок [0, 1] розбивають на п рівних частин. Потім підраховують емпіричні частоти потрапляння чисел,

пили до і-го інтервалу, N - загальна кількість чисел у послідовності). Після цьо­ го будують гістограму розподілу. За великих N гістограма має наближатися до горизонтальної прямої р = n / N . Кількість відрізків розбиття та розмір послідо­ вності визначаються конкретною задачею. У більшості випадків рекомендуєть­ ся обирати п = 20... 50 та N = (102... 103)п.

Перевірка на періодичність. Випадкові числа, що генеруються за про­ грамним методом, рано чи пізно починають повторюватися. Якщо серед елеме­

нтів послідовності с,,, с,2, ..., £ j немає однакових чисел, а елемент збіга­

ється з одним із попередніх, то q називають відрізком аперіодичності. При ви­ користанні рівномірних випадкових послідовностей він має бути не меншим,

ніж кількість чисел, потрібна для здійснення розрахунків. Наявність періодич­ ності й величину періоду можна встановити при дослідженні автокореляційної функції отриманої послідовності. Її значення

характеризують ступінь статистичного зв'язку між значеннями досліджуваної послідовності, відстань між якими дорівнює т. Свідченням періодичності у цьому разі буде наявність максимумів цієї функції, розташованих на однаковій відстані один від одного. Для побудови графіків автокореляційних функцій зручно використовувати спеціальні пакети статистичного аналізу, зокрема па­ кети SPSS та Statistica. На рис. 5.2 показано приклад графіка автокореляційної функції для послідовності, період якої дорівнює 10.

1,°т-----------------------------------

,5-

Lag Number

Рис. 5.2. Схематичний вигляд автокореляційної функції для періодичної послідовності

Перевірка на випадковість. Серед елементів послідовності, що генеру-

»/ • ‘ V’ V’ V’ *

ється, може знаитись серія елементів с,к+1, с,к+2, ..., с,к+г, я к і знаходяться в одній половині відрізка [0, 1], і при цьому елементи с,к та с,к+г+| розмішуються в іншій

половині цього відрізка. При використанні такої послідовності необхідно, щоб для кількості N чисел, що використовуються в розрахунках, виконувалася умоBarm ax«N .

Існує багато типів відхилень від випадковості й критеріїв, що перевіряють їх наявність. Один з найпростіших тестів передбачає підрахунок кількості серій із двох, трьох, чотирьох і т. д. послідовних елементів, що розташовані на відріз­ ках [0; 0,5] і [0,5; і]. Потім ці кількості порівнюють з очікуваними за умови випадковості значеннями за допомогою %2 -критерію.

Інший тест ґрунтується на застосуванні критерію Дарбіна - Уотсона, що перевіряє наявність автокореляції першого порядку. Його значення розрахову­ ють за формулою:

ї й

k=l

Можна показати, що

де Гі - коефіцієнт автокореляції першого порядку (коефіцієнт кореляції між по­ слідовностями елементів та ^2’ )• Звідси випливає, що за наявності додатної автокореляції значення d наближається до нуля, від’ємної -

до чотирьох, а за її відсутності - до двох.

Більш складні тести передбачають дослідження властивостей автокореля-

ційної та частинної автокореляційної функції досліджуваної послідовності. В

окремих випадках вони дають змогу не тільки встановити факт випадковості, а

й визначити тип випадкового процесу.