Холмская экзамен / Моделювання систем

7.Ґрунтуючись на концептуальній моделі доведіть правильність нерів­

ності (3.2).

8.Якими є основні властивості систем Ляпунова?

9.Доведіть, що система рівнянь Лотткі - Вольтерра має періодичні роз­

в'язки.

10. Що називають фазовою траєкторією системи? У якому випадку фа­ зова траєкторія є замкненою?

11. Наведіть приклади співвідношень між коефіцієнтами системи (3.8),

що не розглядалися і поясніть, чому вони не відповідають концептуальній мо­ делі.

12.Яким є основне припущення методів осереднення?

13.У чому полягає метод Ван-дер-Поля? Для розв'язання яких задач йо­

го можна застосовувати?

14. У чому полягає сутність методу Крилова - Боголюбова? Для розв'я­ зання яких задач його можна застосовувати?

15. Які засоби розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем перед­ бачені у пакеті MathCad?

16.Якою є загальна постановка задачі трьох тіл?

17.Чому у загальному випадку задача трьох тіл не має аналітичного роз­

в'язку?

18. Які чисельні методи можна використовувати для розв'язування сис­ тем диференціальних рівнянь?

19.У чому полягає сутність методу Ейлера? Якими є його переваги й

недоліки?

20.У чому полягає сутність методів Рунге - Кутта? Якими є їх переваги

йнедоліки?

21.Чому модель Птоломея можна розглядати як розклад траєкторії руху планети у ряд по коловим орбітам?

4.АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ СИСТЕМ

4.1.Математична ознака стійкості

Систему називають стійкою, якщо після її виведення із стану рівноваги вона за відсутності зовнішніх впливів прагне повернутися до цього стану. Будь-

яка динамічна система характеризується перехідним процесом, що виникає в ній при порушенні її рівноваги зовнішніми впливами (сигналами управління,

завадами, збуреннями тощо). Перехідний процес залежить як від властивостей системи, так і від типу зовнішнього впливу. Його можна подати як суму двох складових:

(4.1)

де yint(t) - вільні рухи системи, що визначаються її власними властивостями і початковими умовами; yext(t) - змушені рухи, які визначаються збурюючим впливом та властивостями системи.

Для того, щоб система могла правильно реагувати на сигнали управління або зміну навантаження при перехідному процесі, складова, що описує вільні рухи, з часом має наближатися до нуля, тобто система є стійкою, якщо:

(4.2)

Таким чином, характер вільного руху системи визначає її стійкість або нестійкість. Приклади вихідних характеристик, тобто залежностей вихідних па­ раметрів від часу, для стійких та нестійких систем наведено на рис. 4.1.

Широкий клас динамічних систем може бути описано за допомогою ди­ ференціальних рівнянь або їх систем (нагадаємо, що будь-яке звичайне дифере­ нціальне рівняння n-го порядку можна перетворити до системи п звичайних диференціальних рівнянь першого порядку).

Рис. 4.1. Приклади вихідних характеристик стійких та нестійких САУ

У цьому випадку рівняння вільного руху лінійної системи, розв'язане сто­ совно досліджуваної величини, можна записати у вигляді:

де ао, аі, ... .aNсталі коефіцієнти, що визначаються параметрами системи. В

операторній формі це рівняння набуває вигляду:

де р = ----- оператор диференціювання за часом. dt

З оператором можна виконувати ті самі дії, що і з іншими членами алгеб­ раїчного рівняння (множити, ділити, виносити за дужки тощо). Можливість за­ пису диференціального рівняння в операторній формі значно спрощує всі пода­ льші розрахунки.

Такий перехід від диференціального рівняння до еквівалентного йому ал­ гебраїчного називають перетворенням Лапласа. При цьому алгебраїчне рів­ няння є записом диференціального в операторній формі. Функцію у(р) назива­ ють зображенням функції y(t), а функцію y(t) - оригіналом функції у(р). Опера­ цію переходу від вихідної функції y(t) до її зображення називають прямим пе­ ретворенням Лапласа, а операцію переходу від зображення у(р) до оригіналу -

оберненим перетворенням Лапласа.

В математичній теорії стійкості об'єктом дослідження зазвичай є окремий розв'язок аналізованої системи диференціальних рівнянь. Основним завданням теорії стійкості є розробка методів визначення стійкості окремих розв'язків, які б не вимагали знання загального розв'язку відповідної системи. Як досліджува­ ну величину найчастіше беруть відхилення регульованого параметра від зада­ ного значення.

Розв'язок рівняння (4.3) при всіх дійсних коренях має вигляд:

П

(4.5)

І=1

де А; - додатні сталі інтегрування, що визначаються параметрами системи й початковими умовами.

У більш загальному випадку нелінійних систем часто здійснюють їх ліне­ аризацію, яка полягає в заміні вихідного нелінійного рівняння ланки наближе­ ною лінійною залежністю. Це можна здійснити, наприклад, розкладом неліній­ ної залежності в ряд Тейлора в околі точки усталеного режиму, нехтуючи при цьому членами вище першого порядку малості.

Якщо права частина цього рівняння дорівнює нулю, то ми отримаємо рів­ няння власних рухів, а якщо ні - рівняння змушених рухів. Для визначення стійкості системи достатньо розв'язати рівняння вільних рухів.

Позначимо: а0 = Т|Т2, а, = Т, + Т2, а2 = 1 + k,k2 • Тоді характеристичне рів­ няння матиме вигляд:

Його коренями є:

збільшується до нескінченності; якщо A-j < 0, вона наближається з часом до ну­

ні характеристичного рівняння завжди бувають комплексно спряженими: A-j = а ±і(3.

1. Для забезпечення стійкості системи, що описується лінійними дифере­ нціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, необхідно й достатньо, щоб дійсні корені характеристичного рівняння, яке відповідає вихідному диференці­ альному рівнянню, були від'ємними, а комплексні корені мали від'ємну дійсну

частину. У цьому випадку limyint (t) = 0 .

t—>00

2. Якщо дійсна частина коренів є від'ємною, але є нульові або суто уявні

корені, то система буде консервативною, тобто lim yint (t) = const Ф0.

t—>00

3. Якщо є додатні дійсні корені або комплексні корені з додатною дійс­

ною частиною, то система є нестійкою і lim yint (t) —» оо.

t—>00

Таким чином, вигляд залежності Уіп1 (t) визначається знаком дійсної час­ тини коренів характеристичного рівняння (рис. 4.5).

Область нестійкості

Рис. 4.5. Вплив коренів характеристичного рівняння на стійкість системи

Прямий метод аналізу стійкості, що ґрунтується на обчисленні коренів характеристичного рівняння, є досить складним, особливо у випадку рівнянь високих степенів. Тому розроблено інші методи, які дають змогу визначити стійкість системи без розв'язання характеристичного рівняння. На їх основі сформульовано певні критерії стійкості, що дають змогу одночасно визначити вплив окремих параметрів системи та структурних змін на її стійкість.

Вирізняють дві групи критеріїв стійкості - алгебраїчні (Рауса й Гурвиця),

що ґрунтуються на аналізі коефіцієнтів характеристичного рівняння, і частотні

(Михайлова й Найквіста), які базуються на дослідженні частотних характерис­ тик. Частотні критерії дають змогу оцінювати стійкість системи не тільки на основі рівнянь динаміки, а й за експериментально визначеними частотними ха­ рактеристиками у випадках, коли самі ці рівняння залишаються невідомими.

4.2. Критерій Гурвиця

Цей критерій дає змогу визначити місцезнаходження коренів характерис­ тичного рівняння на комплексній площині.

Нехай характеристичне рівняння записується у вигляді:

Для перевірки стійкості системи спочатку будуємо визначник Гурвиця за таким правилом: по головній діагоналі записуємо зліва направо всі коефіцієнти характеристичного рівняння від аі до ап у порядку зростання індексу.

У кожному стовпчику вверх від головної діагоналі ставимо коефіцієнти характеристичного рівняння з послідовно зростаючими індексами, а вниз - ко­ ефіцієнти з послідовно згасаючими індексами. На місця, де значення індексів мають бути від'ємними або більшими, ніж п, ставимо нулі. Наприклад, для п = 6

отримуємо такий визначник Гурвиця: