Холмская экзамен / Моделювання систем

3.4. Задача трьох тіл: чисельне моделювання траєкторії руху

Однією з класичних задач математичного моделювання є задача трьох тіл. Вона досліджує рухи у системі, яка складається із трьох тіл, що взаємоді­

ють один з одним. Її прикладом може бути система "Сонце - планета - супут­ ник планети".

Першим етапом виконання дослідження має бути побудова фізичної мо­ делі досліджуваної системи. Розглянемо його більш детально на прикладі моде­

лювання траєкторії руху Місяця навколо Сонця.

Розробка фізичної моделі починається з визначення складу системи. Як супутник Землі, Місяць входить до складу Сонячної системи, яка, у свою чергу,

є підсистемою більш великих зіркових систем. Проте, не всі об’єкти цих систем будуть суттєво впливати на рух Місяця. При моделюванні його руху до складу системи, очевидно, слід включити сам Місяць (М), Землю (Е) та Сонце (S). Пи­ тання щодо необхідності включення інших небесних тіл (В) до складу системи повинно вирішуватися залежно від мети моделювання. Критерієм впливу цих

ня, що набуває Місяць внаслідок його гравітаційної взаємодії з тілом, яке розг­ лядається, та Землею, Мв та МЕ - маси тіла і Землі, гв та гЕ - мінімальні відстані від Місяця до них. Маси планет Сонячної системи та Землі можна знайти в на­ вчальній і довідковій астрономічній літературі. Дані про мінімальні відстані між Місяцем та іншими небесними тілами містяться у фахових виданнях, які є важкодоступними. Проте ці величини можна достатньо точно оцінити так. Від­ стані від Місяця до інших планет Сонячної системи великі порівняно з відстан­ ню від нього до Землі. Тому вони є близькими до відстаней цих планет від Зем­ лі. Вони будуть мінімальні, якщо Земля та планета знаходяться з одного боку від Сонця на одній прямій з ним. Орбіти планет Сонячної системи у першому наближенні можна вважати коловими. Тому мінімальні відстані приблизно бу­ дуть дорівнювати різниці між радіусами орбіт планет і радіусом орбіти Землі.

Значення цих параметрів є у навчальних та довідкових виданнях з астрономії.

Критерієм слабкості впливу планети на рух Місяця можна вважати виконання нерівності ан/аі; < а, де значення а обирається залежно від мети моделювання.

Воно може, наприклад, дорівнювати 0,001-0,01. Значення параметра а має бути тим нижчим, чим більша потрібна точність результату, а також, чим більший період часу, протягом якого необхідно дослідити траєкторію руху.

Вплив небесних тіл, що не входять до складу сонячної системи, можна, у

першому наближенні, розглядати як вплив зовнішнього середовища на систему в цілому. Тоді за необхідності більш точного аналізу руху Місяця в зоряній си­ стемі відліку ми можемо здійснити декомпозицію моделі і розглядати його як суму руху Місяця стосовно Сонця та руху сонячної системи як цілого стосовно зоряної системи координат.

Наступним кроком побудови моделі є визначення характеру зв’язків між елементами системи, тобто характеру взаємодії Місяця з іншими тілами, які ми зарахували до складу досліджуваної системи. Найбільш важливою буде граві­ таційна взаємодія. Залежно від потрібної точності моделі її описують за допо­ могою закону всесвітнього тяжіння або за допомогою загальної теорії віднос­ ності. Можна вважати, що поправка, яку дає остання, в даному випадку не сут­ тєва, тобто її можна не враховувати. Тоді сила, що діє на Місяць з боку іншої планети (Р), буде дорівнювати:

де у = 6,673ТО’11 Н м2 кг’2 - гравітаційна стала, m - маса Місяця, г^ - радіус-

вектор, проведений від планети до Місяця, гРМйого довжина.

Закон всесвітнього тяжіння сформульовано для матеріальних точок, тому перед застосуванням треба визначити можливість його використання у вигляді

(3.41). Є три основних джерела можливих помилок. По-перше, теорія дозволяє використовувати звичайну форму закону для опису взаємодії неточкових тіл,

які мають форму кулі. Форми Місяця, Землі, Сонця та інших небесних тіл дещо

відрізняються від кульової. Цим можна зневажати при аналізі руху планет. Але,

якщо розраховуються траєкторії штучних супутників Землі та інших об’єктів,

що знаходяться на малих, порівняно з радіусами планет, відстанях від них, від­ мінність форми планети від кульової може стати суттєвим джерелом похибки.

По-друге, внаслідок того, що досліджувані об'єкти не є точковими тілами, взає­ модія може призводити до внутрішнього перерозподілу їх мас, а також до зміни їх обертового руху, що внаслідок дії законів збереження буде відображатися й на їх орбітальному русі. Прикладом є вплив земних припливів і відпливів, зу­ мовлених гравітаційною взаємодією з Місяцем, на її орбітальний рух. Необхід­ ність врахування відповідних ефектів залежить від мети моделювання і потріб­ ної точності розрахунків. Зазвичай ці ефекти є суттєвими лише для великих

(порівняно з періодом обертання) інтервалів часу. По-третє, слід враховувати вибір системи відліку, в якій розв’язується задача. Якщо обирають геліоцент­ ричну систему, тобто Сонце поміщають до початку координат, то система від­ ліку буде неінерційною, завдяки галактичному руху Сонця та його руху внаслі­ док взаємодії з планетами Сонячної системи. Тобто при розрахунку сил, що ді­ ють на Місяць та інші планети, необхідно до сили гравітаційної взаємодії дода­ ти силу інерції, зумовлену прискореним рухом системи відліку. Якщо ж розг­ лядати рух Місяця в інерційній системі відліку, то треба враховувати рух Сонця стосовно цієї системи. Ці поправки будуть відносно малими, тому у першому наближенні ними можна зневажати. Але при точних розрахунках їх потрібно враховувати.

Виходячи з наведеного вище, математичну модель руху Місяця (для ви­ падку, коли враховується лише його взаємодія із Сонцем та Землею і нехтуєть-

ся неінерційністю геліоцентричної системи відліку) можна записати так:

rM(t = to) = rMO, v M(t = t0) = v M0 rE(t = t0)= rE0,

V E ( t = t 0 ) = V E0-

Модель (3.42) є описовою, динамічною, стаціонарною, диференціальною,

нелінійною, неперервною, із зосередженими параметрами. Незважаючи на її простоту ця модель має аналітичні розв'язки лише в деяких окремих випадках.

Тому для реальних ситуацій її слід розв'язувати за допомогою чисельних мето­ дів. Враховуючи, що модель (3.42) є системою звичайних диференціальних рів­ нянь, як стандартну математичну схему її дослідження доцільно вибрати один із чисельних методів розв'язування задачі Коттті.

Для чисельного аналізу цієї моделі необхідно перейти від векторної фор­ ми запису до скалярної. У загальному випадку кожне з рівнянь системи (3.42)

розпадається ще на три. Наприклад, для першого рівняння одержимо:

де x, у, z - декартові координати.

Для задачі, що розглядається, можна прийняти, що орбіти, за якими ру­ хаються Місяць навколо Землі та Земля навколо Сонця, лежать в одній плоттти-

ні. Тоді ми одержимо плоску задачу і достатньо буде замінити кожне векторне рівняння на два скалярних.

Схема розв’язування системи (3.42) після її переведення до скалярної фо­ рми може бути такою. На першому етапі необхідно задати початкові умови, а

саме початкові координати Місяця і Землі та початкові проекції їх швидкостей.

Початкові координати зручно взяти такими, щоб у момент t = 0 Сонце, Місяць та Земля розміщувалися вздовж однієї прямої. Тоді цю пряму можна обрати як одну з осей координат, наприклад, як вісь х. Початковою координатою Землі хЕ візьмемо середній радіус Земної орбіти. Для одержання початкової координати Місяця хм до координати Землі додамо середній радіус орбіти Місяця. При та­ кому виборі початкових координат ми нехтуємо відмінністю орбіт Землі та Мі­ сяця від кіл. Початкові швидкості Землі та Місяця будуть спрямовані перпен­ дикулярно вісі х. Тому їх проекції на вісь Ох дорівнюють нулю. Зневажаючи несталістю кутових швидкостей орбітальних рухів Землі та Сонця, можна при­

йняти:

де Re та RMвідповідно, середні радіуси орбіт Землі та Місяця; ТЕ і Тм - періо­ ди обертання Земля навколо Сонця та Місяця навколо Землі. Слід відзначити,

що оскільки орбіти Місяця та Землі близькі до колових, їх початкові швидкості будуть близькими до значень перших космічних швидкостей для систем "супу­ тник - Земля" і "супутник - Сонце" при відповідних відстанях до Землі і Сон­ ця. Як відомо з курсу фізики, перші космічні швидкості визначають межу між замкненими (для v > viK) й незамкненими (для v < viK) траєкторіями руху супут­ ника. Тому невелика помилка у визначенні початкових швидкостей може приз­ вести до якісної зміни розрахованої траєкторії руху. Але така похибка легко може бути усунена при наступному корегуванні моделі.

Після визначення початкових координат та проекцій швидкостей можна розрахувати проекції прискорень Місяця та Землі у початковий момент часу за формулами систем (3.42) та (3.43). Далі потрібно задати крок At і організувати цикл за часом. Умовою закінчення циклу може бути досягнення заданого часу руху або проходження Місяцем одного чи декількох повних обертів навколо Сонця.

У найпростішому випадку застосування методу Ейлера на кожному кроці потрібно виконати такі дії.

1. Розрахувати нові значення координат Землі та Місяця:

(3.45)

Уе1= Уе + < EAt + a^A t/ 2;

Ум = У м +< м Аі + аумА^ 2-

2.Розрахувати нові значення проекцій швидкостей Землі та Місяця:

3.Розрахувати нові значення проекцій прискорень Землі та Місяця згідно з (3.42, 3.43).

4.Додати час At і перейти до наступного кроку циклу.

На рис. 3.3 наведено фрагменти траєкторій руху трьох взаємодіючих тіл.

Точками і стрілками позначені початкові координати й напрямки їх руху.

Рис. 3.3. Результати розрахунку фрагментів траєкторій руху трьох взає­ модіючих тіл

Для першого тіла початкова швидкість дорівнювала нулю. Під час обчис­ лень може виникнути така розрахункова помилка. Внаслідок скінченності кро­ ку за часом і, відповідно, скінченності переміщень і приростів швидкостей, у

деякий момент Місяць може виявиться занадто близьким до Землі, або Земля виявиться занадто близькою до Сонця. У цьому випадку на наступному кроці вони одержать великі прирости швидкостей, а далі змістяться на великі відстані від центрів орбіт. На цих відстанях сила їх притягнення до Землі або Сонця сут­ тєво зменшиться і вони не зможуть повернутися на свої орбіти. Для запобігання виникненню такої помилки необхідно обирати невеликий крок за часом. Необ­ хідно також ввести додаткові умови закінчення розрахунків у випадках, коли одне тіло наблизиться до іншого на відстань меншу, ніж певна заздалегідь за­ дана для цієї пари величина. Виконання такої умови фактично буде означати зі­ ткнення цих двох тіл та їх подальший рух як одного цілого. Якщо така ситуація виникає при моделюванні, це означає, що початкові проекції швидкостей Землі або Місяця були занадто малими і їх треба збільшити.

f 4 = f ( t1+At,y1+ k 3,z1+ f 3).

Як рівняння (3.47) при моделюванні руху у системі "Сонце - Земля - Мі­ сяць" можна взяти рівняння системи (3.42), записані у скалярній формі. Напри­ клад, для координати х Місяця:

(3.50)

Із математичним моделюванням руху планет пов'язана тривала дискусія між прихильниками геоцентричної та геліоцентричної моделей Всесвіту, яка виникла ще в античний період і закінчилася лише у XVIII—XIX сторіччях після побудови класичної механіки й експериментальної перевірки її астрономічних прогнозів. У своєму первинному вигляді ані модель Птоломея ані модель Копе-

рніка були не в змозі адекватно описати спостережуваний рух планет. Тому во­ ни змушені були використовувати так звані епіцикли.

У найпростішому випадку введення епіциклу передбачало, що по коловій траєкторії навколо Землі або Сонця рушиться не сама планета, а центр деякого іншого кола. Сама ж планета рушиться вздовж цього додаткового кола. Мате­ матичну модель такого руху можна записати у вигляді:

(3.51)

де через х0,у0 позначено координати центру обертання, хj,уj - координати по­ точного центру епіциклу, х2,у2 - координати тіла, що обертається, Rb R2 -

радіуси основної орбіти та епіциклу, о)|,со2 - кутові швидкості обертання вздовж них. На рис. 3.4 показано вигляд руху планети за наявності одного епі­ циклу.

З рисунку видно, що вже при введенні одного епіциклу вдається відобра­ зити важливу особливість реального руху планет з погляду земного спостеріга­ ча, яка полягає у наявності ділянок їх зворотного руху.

З погляду сучасної математики підхід Птоломея можна розглядати як своєрідний розклад функції, що описує траєкторію планети, у ряд за коловими траєкторіями, радіуси яких прямують до нуля.

Рис. 3.4. Траєкторія руху планети за наявності одного епіциклу

Контрольні питання

1.Чому склад земної атмосфери відрізняється від складу атмосфер су­

сідніх планет Сонячної системи? У чому полягають основні відмінності?

2.У чому полягає роль океану в формуванні складу земної атмосфери?

3.Якими є основні компоненти системи, що визначає склад атмосфери

Землі?

4.Якими є основні процеси, що визначають кругообіг кисню, вуглецю

йазоту у біосфері?

5.Яким є змістове значення окремих рівнянь систем 3.1, 3.9?

6.Пояснить, чому s(t) є зростаючою функцією?