Значения r и ϕ* и a1 и a2 |
|
связаны между собой соотношения- |
||
ми (см. табл. 1.4) |
|
|
= r 2 ; |
|
a |
2 |
(1.53) |
||
|
|
|
||
a1 = −2r cos(ϕ ) . |
(1.54) |
|||
Напомним (см. рис. 1.11), |
|
что угол полюса ϕ |
есть нормиро- |
|
ванная частота ω . |
|
|
|
|
Здесь и в дальнейшем будем использовать индексы звездочка и кружок для обозначения полюса и нуля соответственно.
Для записи ИХ небазового звена 2-го порядка достаточно воспользоваться свойствами линейности Z-преобразования и теоремой о задержке.
Тогда передаточной функции небазового звена 2-го порядка
H (z) = b0 +b1z−−1 +b2 z−−2 1+ a1z 1 + a2 z 2
будет соответствовать импульсная характеристика небазового звена |
||||||||||||||||||
2-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h(n) = b r n |
sin[(n +1)ϕ ] |
+b r (n−1) |
sin(nϕ ) |
+b r (n−2) |
sin[(n −1)ϕ ] |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
sin(ϕ ) |
1 |
sin(ϕ ) |
2 |
|
|
sin(ϕ ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или с учетом нулевых начальных условий |
|
|
(1.55) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b r n |
sin[(n +1)ϕ ] |
|
, n =0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.56) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
sin(ϕ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h(n) = b r n |
sin[(n +1)ϕ ] |
|
+b r (n−1) |
|
sin(nϕ ) |
, n =1; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
sin(ϕ ) |
1 |
|
sin(ϕ ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
sin[(n +1)ϕ ] |
|
|
|
|
sin(nϕ ) |
|
|
|
sin[(n −1)ϕ ] |
|
||||
b r n |
|
+b r (n−1) |
|
+b r (n−2) |
, n ≥2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
sin(ϕ ) |
1 |
|
sin(ϕ ) |
2 |
|
|
sin(ϕ ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.4.5. Оценка устойчивости по передаточной функции
В п. 1.3.6 при описании ЛДС во временной области рассмотрен критерий, позволяющей оценить устойчивость ЛДС по ее импульсной характеристике. В z-области, где основной характеристикой ЛДС является передаточная функция (z-изображение ИХ), сущест-
36
вует критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по переда-
точной функции, а именно: для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции располагались внутри единичного круга комплексной z- плоскости
z k |
|
<1, k =1, 2,…, M −1 , |
(1.57) |
|
где z k – k-й полюс ПФ (1.46).
На практике устойчивость рекурсивных ЛДС обычно оценивают по более удобному критерию (1.57) – положению полюсов на карте нулей и полюсов.
1.4.6. Нули и полюсы передаточной функции звеньев 2-го порядка
Звено 2-го порядка описывается передаточной функцией (1.47).
Найдем комплексно-сопряженные полюсы в виде
z*1,2 = r e± jϕ ,
где значения радиуса r и угла ϕ на комплексной z-плоскости выражаются через коэффициенты a1 и a2 на основании соотношений (1.52) и (1.53) следующим образом:
|
r = a2 ; |
|
(1.58) |
||
|
|
|
a |
|
|
ϕ |
= arccos |
− |
1 |
. |
(1.59) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r* |
|
|
Для вычисления нулей в общем случае следует умножить чис-
литель и знаменатель ПФ (1.47) на z2
H (z) = b0 z2 +b1z +b2 z2 + a1z + a2
и найти корни уравнения числителя
b0 z2 +b1z +b2 = 0 ,
которые могут быть вещественными или комплексно-сопряженными (в зависимости от знака дискриминанта):
z |
= |
−b1 ± b12 |
−4b0b2 |
b |
b12 −4b0b2 |
. |
|
|
|
= − |
1 ± |
|
|||
°1,2 |
|
2b0 |
|
2b0 |
2b0 |
|
|
|
|
|
|
||||
37