Практикум2013

Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

21

Невластивий інтеграл 1-го роду

Невластивий інтеграл 2-го роду

A

b

b



f(x)dx lim

f (x)dx,



f(x)dx lim

f (x)dx,

A

0

a

a

a

a

f — неперервна на кожному [a; A]

a — точка нескінченного розриву,

f C(a;b]

Ознака порівняння. Якщо на

Ознака порівняння. Якщо на

проміжку [a; ) функції f (x) та

проміжку (a;b] функції f (x) та (x)

(x) неперервні і справджують умову

неперервні, мають нескінченний розрив

0 f (x) (x) , то зі збіжності

у точці x a і справджують умову

0 f (x) (x), то зі збіжності

b

(x)dx випливає збіжність

(x)dx випливає збіжність

a

a

b

b

f (x)dx, а з розбіжності f (x)dx

f (x)dx, а з розбіжності f (x)dx

a

a

a

a

b

випливає розбіжність (x)dx.

випливає розбіжність

(x)dx.

a

a

Гранична ознака порівняння.

Гранична ознака порівняння.

Якщо на проміжку [a; ) функції

Якщо на проміжку (a;b] функції f (x) та

f (x) та (x) додатні і неперервні,

(x) додатні і неперервні, мають

існує скінченна

нескінченний розрив у точці x a,

lim

f(x)

A 0,

існує скінченна

f(x)

x

(x)

lim

A

0,

(x)

x a

то f (x)dx та (x)dx

b

b

a

a

то f (x)dx та (x)dx

або одночасно збігаються,

a

a

або одночасно розбігаються.

або одночасно збігаються,

або одночасно розбігаються.

Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

23

2)

( f (x, y) g(x, y))dxdy f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy

D

D

D

(лінійність);

3)

f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy (адитивність);

D1 D2

D1

D2

4) mS(D)

f (x, y)dxdy MS(D), де m

(x;y) D

(x;y) D

min

f (x, y), M max

f(x, y)

Область

y y 2(x)

Пряма x (a b) перетинає

правильна в

межу області не більше ніж у двох

напрямі осі Oy

точках.

b 2(x)

y 1(x)

f (x, y)dxdy dx

f (x, y)dy

O a b

x

D

a

1(x)

Область

y

Пряма y (c d) перетинає

x (y)

правильна в

d

1

межу області не більше ніж у двох

напрямі осі Ox

точках.

c

d 2(y)

f (x, y)dx

x 2(y)

f (x, y)dxdy dy

O

x

D

c

1(y)

Заміна змінних у подвійному інтегралі

Перехід до нових координат

f (x, y)dxdy

D

x x(u, v),

f (x(u, v), y(u, v))

J(u, v)

dudv

y y(u, v)

D

x

x

з якобіаном J(u, v)

u

v

y

y

u

v

24

Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

Перехід до полярних координат

f (x, y)dxdy

cos ,

D

x

f( cos , sin ) d d

sin ,

y

D

J

Перехід до узагальнених полярних

f (x, y)dxdy

координат

D

x a cos ,

f (a cos ,b sin )ab d d

b sin ,

D

y

J

ab

Перехід до повторних інтегралів у полярних координатах

Криволінійний сектор («радіальна

Будь-який промінь

область»)

( ) перетинає межу області

2( )

не більше ніж у двох точках.

f( , ) d d

1( )

D

2 ( )

O

P

d f ( , ) d .

1( )

Криволінійний сектор

( )

( )

O

P

f( , ) d d d f ( , ) d

0

D

2.8. Застосування подвійних інтегралів

Площа плоскої області

S(D) dxdy

D

Маса пластинки у формі області

m (x, y)dxdy

D з густиною (x, y)

D

Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

25

Статичні моменти пластинки

Mx

y (x, y)dxdy,

щодо осей

D

My

x (x, y)dxdy

D

Координати центра мас

xc

My

, yc

Mx

пластинки

m

m

Моменти інерції пластинки

Ix

y2 (x, y)dxdy,

щодо осей

D

Iy

x2 (x, y)dxdy

D

Моменти інерції пластинки

IO

(x

2

y

2

) (x, y)dxdy

щодо початку координат

D

2.9. Потрійні інтеграли

Потрійний інтеграл від функції

z

u f (x, y, z) за областю G

G

f(x, y, z)dxdydz

Vi

G

n

O

y

lim

f ( i, i, i ) Vi,

x

M ( ;

; )

max di 0 i 1

i

i i

i

n

де Vi

— об’єми елементарних областей; di — їхні діаметри.

Геометричний зміст потрійного

(x, y, z)dxdydz m(G)

інтеграла. Маса тіла G з густиною

G

(x, y, z) 0

26

Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

Обчислення потрійних інтегралів

Область

z

2

Будь-яка вертикальна пряма перетинає

циліндрична в

межу області не більше ніж у двох

напрямі осі Oz

точках.

2

: z z2(x, y),

O

f(x, y, z)dxdydz

1 : z z1(x, y)

1 y

G

z2 (x,y)

x

D

dxdy

dz

DOxy

z1(x,y)

Область циліндрична в напрямі

f (x, y, z)dxdydz

осі Oz; проекція DOxy

правильна у

b

G

y2 (x)

z2(x,y)

напрямі осі Oy :

dx dy f (x, y, z)dz

a x b,

a

y1(x)

z1(x,y)

D

:

(x)

Oxy

y (x) y y

1

2

Перехід до циліндричних

f (x, y, z)dxdydz

координат

G

f ( , , z) d d dz,

x cos ,

G

sin ,

J