Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

23. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

181

y e x A B Ax Ae x e x (Ax B 2A); y e x (Ax B 2A) Ae x e x 3A B Ax .

[Підставимо ці вирази в рівняння та скоротимо на e x .]

		6Ax 5A 6B 6x 7.
				6,
		6A		6,					A 1,

						7,
		6B 5A				7,			B 2.


	y	част. неодн.			y		(2x 4)e x .
		част. неодн.
y	заг. неодн.	C	1	C e2x C e 3x (x 2)e x .
	заг. неодн.		1		2			3

23.4. Розв’язати задачу Коші

y 4y sin 2x,y(0) 1,y (0) 2.

Розв’язання. [3.6.3, 3.7.]

Маємо задачу Коші для ЛНДР 2-го порядку зі спеціальною правою частиною.

yзаг. неод. yзаг. одн. yчаст. неодн.

	y	4y 0;
		y			cos 2x,
2 4 0;	k1,2	2i	1		sin 2x.
		y			sin 2x.

				2
				2
yзаг. одн.	C1 cos 2x C2 sin 2x.
Оскільки права частина ДР має вигляд [3.7.5]
f (x) sin 2x		0 cos 2x 1 sin 2x,

числа k 2i є коренями кратності s 1 характеристичного рівняння, то частинний розв’язок ЛНДР шукаємо у вигляді:

y x A cos 2x B sin 2x .

Звідси:

y A cos 2x B sin 2x 2x( A sin 2x B cos 2x); y 4A sin 2x 4B cos 2x 4x( A cos 2x B sin 2x).

Підставимо ці вирази в рівняння

4A sin 2x 4B cos 2x 4x( A cos 2x B sin 2x)4x(A cos 2x B sin 2x) sin 2x;

4A 1, 4B 0 A 14 ,B 0.

yчн. неодн. y 4 x cos 2x.

Загальний розв’язок ЛНДР

182	Розділ 3. Диференціальні рівняння

y C1 cos 2x C2 sin 2x 4 x cos 2x.

[Визначаємо значення довільних сталих, тобто частинний розв’язок ЛНДР, який справджує початкові умови.]

y 2C	1	sin 2x				2C	2	cos 2x 1 cos 2x 1 x sin 2x.
	1						2		4		2
									4		2
			C		1,						1,
y(0)			C	1	1,				C	1	1,
				1						1

			2C			1		2	,		7 .
y (0)			2C		2	1		2	C	2	7 .
					2					2
							4				8
							4				8

Розв’язок задачі Коші:

y cos 2x 78 sin 2x 14 x cos 2x.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

23.5.Складіть загальний розв’язок рівняння y 3y 2y f(x), підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1) f (x) 12e x ;		2) f (x) 3e2x ;
3) f (x) 2x 1;		4) f (x) 4x2 2x 1;
5)	f (x) 2xex ;	6)	f (x) e3x (2x 1);
7)	f (x) 10 sin x;	8)	f (x) 20 cos 2x 40 sin 2x;
9)	f (x) 4x 12e 2x 4;	10) f (x) 12 sh x.

23.6.Складіть загальний розв’язок рівняння 2y 5y f (x), підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1)	f (x) 15x2 2x 1;			2)	f (x) 29 cos x;
3)	f (x) 5e 2,5x 25 sin	5x	;	4)	f (x) 50 ch	5x .
		2				2

23.7.Складіть загальний розв’язок рівняння y 4y 4y f (x) , підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1) f (x) 4;	2) f (x) 9e x ;
3) f (x) 6e2x ;	4) f (x) 32 sh 2x.

23. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

183

23.8.Складіть загальний розв’язок рівняння y y f (x), підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1)	f (x) 2x3 x 2;	2)	f (x) 8 cos 3x;
3)	f(x) cos x;	4)	f (x) 2 sin x 2e x .

23.9. Розв’яжіть задачу Коші:

1) 4y 16y 15y 4e 3x2, y(0) 3,y (0) 5, 5;

2)y y 2(1 x), y(0) 1,y (0) 1;

3)y 2y ex (x2 x 3), y(0) 2,y (0) 2;

4)y y sin 2x, y( ) y ( ) 1;

5)y y 5e x (sin x cos x), y(0) 4,y (0) 5;

6)y 2y 2y 4ex cosx, y( ) e ,y ( ) e ;

7)y 2y y 2e 2x , y(0) 2,y (0) 1,y (0) 1;

8)y y 3(2 x2 ), y(0) y (0) y (0) 1;

9)y(4) y 8ex ,y(0) 0, y (0) 2,y (0) 4,y (0) 6.

23.10.Знайдіть загальний розв’язок рівняння:

1) y 4y ctg2 2x;

2) y y

;

sin5 x cosx

3) y y

;

4) y y e2x

1 e2x ;

5) y 2y y

;

6) y 2y y

e x

;

4 x2

7) y y e2x cosex ;

8) y 2y 2y

sin x

Відповіді

23.5. y C ex

C e2x y

1) y

2e x ; 2) y

3xe2x ; 3) y

x 2;

4) y

2x2 5x 5; 5)

ex(x2 2x); 6) y

e3x(x 1); 7)

sin x 3 cos x;

8) y

sin 2x 7 cos 2x; 9)

y 2x 5 e 2x ; 10) y e x

6xex.

184	Розділ 3. Диференціальні рівняння

23.6. y C

C e 5x 2

, 1)

x3 x2

x; 2) y

5 sin x 2 cos x;

cos

5x sin 5x

xe 5x 2

;4)

y e5x 2

5xe 5x 2.

23.7.

y e2x(C

C x) y

, 1)

1; 2) y

e x ; 3)

3x2e2x ; 4) y

8x2e2x

23.8. y C1 cos x C2 sin x y , 1) y 2x3

13x 2;

2) y cos 3x;

3) y x

y x cos x e x .

23.9. 1) y (1 x)e 3x

2 2e 5x 2;

2) y ex

x2; 3) y ex (ex

x2 x 1);

y 1 sin 2x 1 sin x cos x;

y 2ex (sin x 2 cos x)e x

y [ cos x ( 1 2x) sin x]ex ; 7) y 4 3e x

e 2x ; 8) y ex x3;

y 2xex .

23.10. 1) y C1 cos 2x C2 sin 2x 12 14 cos 2x ln tg x ;

2) y C1 cos x C2 sin x 3 cos x ctg x; 3) y ex(x C1) (ex 1)ln(ex 1) C2;

4) y 12 ex arcsin ex ex 1 e2x C1 13 (1 e2x )3 C2;

5)	y ex (C	1	C x ln		x2 1	x arctg x);
		1		2
								x

6)	y e x C			C x	4 x2	x arcsin				; 7)	y C ex cosex C ;
6)	y e x C			C x	4 x2	x arcsin				; 7)	y C ex cosex C ;
			1	2							1	2
			1	2		2					1	2
						2
8)	y (C1 x)e x cos x C2					ln	sin x		e x sin x.
8)	y (C1 x)e x cos x C2					ln	sin x		e x sin x.

e 2x.

sin x;

24. Системи лінійних диференціальних рівнянь

Навчальні задачі

24.1.1. Розв’язати систему ДР

ним методом.

Розв’язання. [3.8.]


x 5x 8y,
	методом виключення і матрич-
	методом виключення і матрич-
y 3x 3y

Це однорідна система ЛДР.

Метод виключення. [Виражаємо з 2-го рівняння x і підставляємо його в 1-ше рівняння. Дістанемо ЛОДР 2-го порядку щодо функції y(t).]

			3y
	y		3y
				,
x		3		,
		3

x 5x 8y,

8y.

24. Системи лінійних диференціальних рівнянь

185

y 8y 9y 0;

2 8 9 0;

1 1, 2 9; y(t) C1e t C2e9t .

[Знаходимо функцію x(t).]

														C1e					t		9C			2e	9t		;
									y			(t)		C1e							9C			2e			;
						y	3y					C e t				9C e9t							3C e t						3C e9t
			x(t)											1							2						1			2
			x(t)					3				4 C e t											3
								3															3
																				2C e9t .
														3	1								2
Відповідь.			x C e t					C e9t				,y			3C e t								1C e9t,C ,C							.
				1				2							4			1					2		2		1		2
Матричний метод.
[Крок 1. Записуємо систему в матричному вигляді.]
														x			Ax,
										5 8

	x				x									.
де x		,x					,A							.
										3		3
	y				y					3		3

[Крок 2. Записуємо характеристичне рівняння.]
													5						8			0.
													5						8
														3				3
														3				3

[Крок 3. Розв’язуємо характеристичне рівняння.]
					5			8								2													1,

											0							8					9				1
											0							8					9			0
					3			3																				2	9.
					3			3																				2	9.

[Крок 4. Оскільки корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то знахо-

димо власні вектори, які відповідають власним числам.]

						4						4								4
		8				4						4								4
6		8											C
				1				1					C	1
						3		1				3		1	A1					3
		4				3						3			A1					3	.
3		4
				0		0			C									1
				0		0		2	C		1							1
								2			1
9 :
9 :
						1						2C
4 8						1	2			1		2C				1				2
										1						1	A
																	A				.
	3		6				0					C						2
	3		6		0		0			2		C			1			2	1
										2					1

[Крок 4. Записуємо загальний розв’язок системи.]

186	Розділ 3. Диференціальні рівняння

														4
				4										4				t				9t
				4														t				9t
x									2			x				C e			2C e				,
x									2			x				C e			2C e				,
	C					t	C				9t			3			1				2			C	,C		.
	C	1		3	e		C	2		e				3										C	,C	2	.
		1		3				2																1		2
y									1						t					9t
															t					9t
			1														C e ,
												y C e					C e ,
													1						2
Коментар.У системі x та y є функціями змінної t :																			x x(t),y y(t).

Із 1-го рівняння, яке містить x , можна виключити змінну y (або з 2-го рівняння, яке містить y , — змінну x).

x x y,

24.1.2. Розв’язати систему ДР

y x y et .

Розв’язання.

Це лінійна неоднорідна система ДР.

[Розв’яжемо її методом виключення змінних. Виражаємо з 1-го рівняння функцію y. ]

				x
y	x x ,		y	x	x ,

		t			t
	x y e	t			t	.
y	x y e		y	x y e		.

x x x (x x ) et ; x 2x 2x et .

[Для функції x(t) маємо ЛНДР 2-го порядку зі спеціальною правою частиною.]

x(t) xзаг. одн.(t) xчаст. неодн.(t).

2 2 2 0;								1 i;
							1,2
x	заг. одн.	C et cost C et sin t.
	заг. одн.				1			2
	f(t) et ,k 1 .
								1,2
				x		Aet .

	x		Aet ;x Aet .

	Aet 2Aet 2Aet							et ;
				A 1.
		x	част. неод.				et .
			част. неод.

x C1et cost C2et sin t et .

[Знаходимо функцію y(t).]

x C1et (cos t sin t) C2et (sin t cost) et ; y x(t) x (t) C1et sin t C2et cost.

Відповідь. x C1et cos t C2 sin t et ,y C1et sin t C2et cost.

24. Системи лінійних диференціальних рівнянь

187

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

24.2. Знайдіть загальний розв’язок системи:


dx		dx
	2x y,
	2x y,

1) dt		2) dt
dy		dy
	3x 4y;
	3x 4y;

dt		dt

x 4y,

x 3y;


dx
	x 3y,
	x 3y,

3) dt
dy
	3x y;
	3x y;

dt

dx		t
		t	,
	2y 5x e		,

3) dt
dy		2t
	x 6y e	2t		;
	x 6y e			;

dt

24.3. Розв’яжіть задачу Коші:


dx
		2x 5y,
		2x 5y,

4) dt
dy
		5x 6y;
		5x 6y;

dt
	dx		dy
	dx		dy
				3x sin t,
4				3x sin t,
	dt		dt
4)	dt		dt
dx
		y cos t.
		y cos t.

dt


dx
	3x 4y,
	3x 4y,

dt
1) dy
	2x 5y,
	2x 5y,

dt

x(0) 1,y(0) 4;

2) dy

dt x(0)

x 5y,

x 3y,

2,y(0) 1.

Відповіді

C e

x (2C t 2C

24.2.

C et

3C e5t ;

)e t ;

y (C t C

cos 3t C

sin 3t),

cos 3t

sin 3t),

x e

(C1 sin 3t

C2 cos 3t);

((4C1 3C2)cos 3t (3C1

y e

x C e

C e

C e t

3C e 3t

cos

C e 4t C e 7t

e 2t

;

(sin t 2 cost)e

24.3.

e t

3e 7t

;

e t

cost.

4C2)sin 3t;

Додаток

Д1. Тригонометричні формули

Основні тригонометричні тото-													Формули додавання.
жності.													 sin(x y) sin x cos y sin y cos x;
 sin2 x cos2 x 1;													 cos(x y) cos x cos y sin x sin y;
 tg x ctg x 1;													 tg(x y)											tg x tg y						;
				1																				tg x tg y
1 tg2 x						;																1 tg x tg y



		cos2 x											 ctg(x y) ctg x ctg y 1
				1									 ctg(x y) ctg x ctg y 1
1 ctg2 x				1																				ctg x ctg y

			sin2 x
			sin2 x
Формули кратних аргументів.													Формули зниження степеня.
 sin 2x 2 sin x cos x;													 sin2			x				1 cos 2x						;
																				1 cos 2x
 cos 2x cos2 x sin2 x;																							2
 cos 2x cos2 x sin2 x;																							2
													 cos2			x				1 cos 2x
													 cos2			x							2
																							2
Формули половинного аргументу																			1 t2								x
 sin x	2t						x						 cos x 1 t2 , t tg 2																;
				, t	tg 2			;
	1 t2			, t	tg 2			;					 tg x								2t			, t tg x
													 tg x							t2				, t tg x
																	1			t2						2
Перетворення добутку тригоно-													Перетворення суми тригонометри-
метричних функцій у суму.													чних функцій у добуток.
																									x y						x y
2 sin x sin y cos(x y) cos(x y);													 sin x sin y 2 sin												x y			cos			x y	;
2 cos x cos y cos(x y) cos(x y);													 sin x sin y 2 sin															cos				;
2 cos x cos y cos(x y) cos(x y);																										2				2
 2 sin x cos y sin(x y) sin(x y)													 cos x cos y 2 cos x y cos x y																			;
																										2				2
													 cos x cos y 2 sin x y sin y x
																										2				2

								0									3				2
								0	6		4	3		2				2			2
									6		4	3		2				2

							sin	0	1		2	3		1	0		1				0
							sin	0		2	2	2		1	0		1				0
										2	2	2
												1
							cos	1	3		2	1		0	1		0				1

									2		2	2
									2		2	2
							tg	0	1		1				0						0
									1			3


									3
									3
							ctg		3		1	1		0			0


												3

Додаток

189

Д2. Основні правила і формули диференціювання

(Cu) Cu ,C const

(u v)

(uv)

u v uv

f (u) x fu ux

y y(lny)

(u ) u 1u

lna

(a ) a

u ,a 0

(e )

(log

(ln u) u

u lna

(sinu)

cosu u

(cosu) sinu u

(tg u)

(ctg u)

cos2 u

sin2 u

(arcsin u)

(arccos u)

1 u2

(arctg u)

1 u2

(arcctg u)

(shu)

chu u

(chu) shu u

(th u)

(cth u)

ch2 u

sh2 u

190 Додаток

Д3. Основні формули інтегрування

u 1

u du

( 1)

eudu eu C

a du

lna

sin udu C cosu

cosudu sin u C

tg u C

C ctg u

sin2 u

cos2 u

sh udu ch u C

ch udu sh u C

th u C

C cth u

sh2 u

ch2 u

u2 a

arcsin a

a2 u2

a 0

1 arctg u C,

u a

a 0

sin u

cosu

tg udu

C ln

cosu

ctg udu ln

sin u

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
01.05.2025305.66 Кб0Практикум зі складання МЕТОДИЧКА.doc
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.03.2025136.19 Кб0Практическая работа7.doc
#
01.05.20253.59 Mб0Практическая_часть-WordPress.doc
#
01.03.2025402.94 Кб2Практичні роботи 1-6.doc
#
12.05.201524.81 Кб180Практичні роботи.docx

						4						4								4
		8				4						4								4
6		8											C
				1				1					C	1
						3		1				3		1	A1					3
		4				3						3			A1					3	.
3		4
				0		0			C									1
				0		0		2	C		1							1
								2			1
9 :
9 :
						1						2C
4 8						1	2			1		2C				1				2
										1						1	A
																	A				.
	3		6				0					C						2
	3		6		0		0			2		C			1			2	1
										2					1

						4						4								4
		8				4						4								4
6		8											C
				1				1					C	1
						3		1				3		1	A1					3
		4				3						3			A1					3	.
3		4
				0		0			C									1
				0		0		2	C		1							1
								2			1
9 :
9 :
						1						2C
4 8						1	2			1		2C				1				2
										1						1	A
																	A				.
	3		6				0					C						2
	3		6		0		0			2		C			1			2	1
										2					1

						4						4								4
		8				4						4								4
6		8											C
				1				1					C	1
						3		1				3		1	A1					3
		4				3						3			A1					3	.
3		4
				0		0			C									1
				0		0		2	C		1							1
								2			1
9 :
9 :
						1						2C
4 8						1	2			1		2C				1				2
										1						1	A
																	A				.
	3		6				0					C						2
	3		6		0		0			2		C			1			2	1
										2					1