Практикум2013

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рис. до зад. 11.3.2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

	10. Застосування подвійного інтеграла											111
	[2.7.4]
	[2.7.4]
S dxdy			d d				6				2 ;
D			D				4 sin 8 sin

2	8 sin		2	2	8 sin				2
2	8 sin		2	2	8 sin				2
d		d		2	4 sin	d 24 sin2 d
6	4 sin		6	2					6
6	4 sin		6						6
2									2
2


								sin 2
12 1 cos 2 d 12										4 3		3.
12 1 cos 2 d 12										4 3		3.
							2
6							2		6
6									6

10.2.1.Знайти масу пластинки D, яка обмежена лініями 2y x2, x y 4, з густиною розподілу маси (x, y) 2.

Розв’язання. [2.8.2.]

Масу пластинки D з густиною (x, y) знаходять за формулою

[2.8.2]	(x, y)dxdy 2dxdy.
m(D)	(x, y)dxdy 2dxdy.
	D	D

Область D правильна в напрямі осі Oy. Залишаємось у декартових координатах.

[Щоб визначити межі інтегрування знайдемо абсциси точок перетину параболи з прямою.]

		2	,					x
	2y x		,		2			x	1
				x	2	2x 8 0			1
				x		2x 8 0
x		y 4					x		2

D 4

4 2 x

Рис. до зад. 10.2.1

						4 x 2,
m 2 dxdy						зверху y 4 x,
		D				знизу y		x2
						знизу y		2
	2
					x	2			x	2
						2				2

2			4	x				4x
2			4	x			dx 2	4x
					2				2
4					2				2
4

24 x

2 dx dy

4 x2

			2
x	3	2
	3	2

			36.
			36.
6
6		4
		4

10.2.2. Знайти		масу пластинки D, яку задано нерівностями			y x	0,
					4
1	x2	y2 3, з густиною розподілу маси (x,y)	x	.
			y5
	16
	16

Розв’язання. [2.8.2.]

112	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

Масу пластинки D з густиною (x, y) знаходять за формулою

[2.8.2]

(x, y)dxdy

m(D)

dxdy.

Виходячи з форми пластинки доцільно перейти до

узагальнених полярних координат [2.1.3]:

4 cos ,

4 x

y sin ,

4 .

Рис. до зад. 10.2.2

1 2 3; 1 3.

4 sin 4 cos 0; tg 1;

4 cos

cos

3 d

dxdy

4 d d 16

sin

10.3. Знайти координати центра маси однорідної матеріальної пластини, обмеженої кривими y2 4x 4, y2 2x 4 .

Розв’язання. [2.8.4]

Пластина однорідна, тому (x, y) 0 const .

Пластина симетрична відносно осі Ox , тому yC 0.

Абсцису центра маси шукають за формулою

			x		My	,
			x			,
			C		m
					m
де My		1	0xdxdy;	m 0dxdy.
де My	m		0xdxdy;	m 0dxdy.
	m		D		D
			D		D
						2	(4 y2 ) 2
			My x 0dxdy 0 dy					xdx

1 C 2 x

Рис. до зад. 10.3

						D											2		(y2 4) 4
				1		2		1				2	2				1			2			2
				1	0			1	4 y			2					1	y		2	4
																									dy
																									dy
				2													16
				2	2		4										16
3		2				2				4					3							8y		3		y	5	2	16
		2																						3			5	2
			16 8y								dy

	0						y									0			16y											0.
16	0						y							16		0			16y				3			5			5	0.
16		0												16									3			5		0	5
		0																										0

	10. Застосування подвійного інтеграла																								113
		2		(4 y2 ) 2				2		1											1
		2						2												2			2
																				2			2
m 0dxdy 0 dy							dx 0									4		y				y		4 dy
m 0dxdy 0 dy							dx 0									4		y				y		4 dy
																					4
D		2		(y2 4) 4					2 2												4
		2			3 2										y		3		2
		2															3		2

2	0		3			y														8 0.

							dy	2 3y
					4											4
		0			4											4			0
		0		x	c		16 0		1			2		.					0
							16 0		1			2
									8 0
							5			5
							5			5
													2
													2
Центр маси даної пластини міститься в точці C																; 0 .

											5

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

10.4. Обчисліть площі фігур, обмежених лініями:

1) y2 2x, y x; 2) y x2, y 2x x2;


3)	x 0, y x, y 2 x2 (x 0); 4) x2 y2 4, y2 4 4x, x 1;
5) x2 y2 2x, x2 y2 4x, y x, y 0;
6) x2 y2 3y, x2 y2 5y, y		x	, x 0;

7) (x2 y2 )2 x2 y2, x2 y2 2x 0;

8) a(1 cos ), a cos (a 0);

		2		y		2	2		x	2	y	2
x				y					x		y
9)													(лемніската);
9)													(лемніската);
	4				9				4		9
	4				9				4		9
			2			y	2	2
	x					y
10)										4xy	(лемніската);
10)										4xy	(лемніската);
		9				4
		9				4

11)x2 3y, x2 4y, y2 x, y2 2x;

12)y2 ax, y2 bx, xy , xy (0 a b, 0 ).

10.5. Знайдіть масу пластини D з густиною (x, y):

D : x 2

4, x2 y2 16, x 0,

y 0, (x,y)

y x

;

x2 y2

2) D : x2

1, x2 y2 9, x 0, y 0, (x,y)

;

x2 y2

D : (x2

y2)2

a2(x2 y2) (x 0),

(x,y) x x2

y2 ;

D : (x2

y2)2

9(x2 y2) (x 0,y

0), (x,y) x2 y2;

114	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

5) D : x2 y2 ax, x2 y2 2ax,y 0, (x,y) x2 y2;

6) D : 1	x2	y2	2, x 0, x	4	y, (x,y)	27x	.
	16	9		3		y5

10.6.Для пластинки D з густиною (x, y) знайдіть: а) масу; б) координати центру мас; в) моменти інерції щодо осей Ox та Oy, якщо:

1)D : x2 y2 2ax, (x,y) 0 x2 y2 ;

2)D : x y a,a x 0,a y 0, (x,y) x.

Відповіді

		2 ;			1 ;				7				6 8					5) 3					3					4
10.4. 1)			2)			3)			7		; 4)		6 8				;						3		;	6)		4					3; 7)
10.4. 1)			2)			3)			6		; 4)						;						2		;	6)		3					3; 7)
		3			3				6					3						4			2					3
10) 72; 11)			1	;	12)			1	( )ln b .
			3					3								a
10.5. 1) 4; 2) 4; 3)								2				2 a4 ;		4)		81		; 1)		45		a4 ;				4) 1.
								15								32				64
		32			3		; б)				x			6	a,y			0;			в)		I					512		a	5			, I
10.6. 1) а)				a		0	; б)				x				a,y			0;			в)		I	xx						a			0	, I	yy
			9			0						C		5		C								xx				525					0		yy
			9											5														525
2) а)	a3	; б) x						3a		, y				5a		; в) I						3a5			, I				a5			.
2) а)		; б) x								, y						; в) I			xx						, I		yy					.
	3			C				4				C		8					xx			20					yy			5
	3							4						8								20								5

1 ; 8) 5 a2; 9) 6;

2 4

1024 5

175 a 0;

11. Потрійний інтеграл

Навчальні задачі

11.1. Обчислити I zdxdydz, якщо область G обмежена поверхнями:

z x2 y2, x y 1, x,y,z 0.

Розв’язання. [2.9.4.]

Область інтегрування G є циліндричною в напрямі осі Oz.

знизу площиною z 0, зверху — параболоїдом z x2 y2. на площину Oxy .

	[2.9.4]	зверху z x2 y2,						x2 y2
								x2 y2
zdxdydz							dxdy
zdxdydz		знизу z 0					dxdy
G		знизу z 0					DOxy	0
G				z2	x2	y2	DOxy	0
					x2	y2
						dxdy
				2	0	dxdy
			D		0
			Oxy

Вона обмежена:

Проектуємо тіло

zdz

															11. Потрійний інтеграл															115
			1				(x			y							0 x 1,											z



									2		2	) dxdy				зверху y 1 x,
									2		2	2																		G

				2	DOxy												знизу y 0
				2
																														y
							1		1	1 x																	x			y


									dx (x4 2x2y2 y4 )dy
								2	dx (x4 2x2y2 y4 )dy																		y
								2	0		0																y
									0		0											1 x					1
							1		1				2 2 3					y	5										D
									1										5										D
										4																			Oxy

										x y					x y								dx
							2			x y			3		x y			5					dx
							2		0				3					5				0
	1	1		4					0			2										0	5		7		O	1		x
		1
													2				3
													2				3			(1 x)

				x		(1 x) x								(1 x)										dx		.
	2											3									5				180		Рис. до зад. 11.1
	2	0										3									5				180		Рис. до зад. 11.1
		0
Коментар. Оскільки область DOxy																				є трикутником, залишаємось у декартовій

системі координат. Вибираємо інтегрування вздовж осі Oy (область правильна в обох напрямах.)

11.2. Обчислити
11.2. Обчислити	x2 y2 z2dxdydz.
V :x2 y2 z2 z

Розв’язання. [2.9.8.]

Оскільки область є кулею, обмеженою сферою x2 y2 z 12 2 14 ,

то інтеграл зручніше обчислювати у сферичній системі координат

[2.1.6]:

		r cos sin ,
x		r cos sin ,
						r 0,
		r sin sin ,				r 0,
y		r sin sin ,
				( ; ], [0; ],
		r cos ,		( ; ], [0; ],
z		r cos ,
					2		2		2	2
					2		2		2	2
	J		r2 sin ;	x		y		z		r	.

[Записуємо рівняння поверхонь у сферичній системі координат.] x2 y2 z2 z; r2 r cos ; r cos .

r cos 0; 0 2 .

O y

Рис. до зад. 11.2

			[2.9.8]
x2	y2	z2dxdydz		r3 sin drd d
G
				G
	2	cos		2		cos

d sin r 3d 2 sin r 4						d
	0	0		0	4	0

116	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

	2	sin d	cos5		2

2	cos4		2	5	0
	0

10 .

Коментар.  Від декартових до сферичних координат [2.1.5] у потрійних інтегралів доцільно переходити для областей, обмежених сферами, конусами та площинами, які проходять через вісь Oz.

11.3.1. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями y 16
	2x,y 2x,

z 0,x z 2.

Розв’язання. [2.10.1.]

Об’єм тіла G знаходять за формулою

[2.10.1]	dxdydz.
V(G)	dxdydz.
	G

Тіло G — циліндричне в напрямі осі Oz; на площину Oxy воно проектується в область DOxy, яка є правильною у напрямі осі Oy.

												0	x 2,										[2.9.5]
V dxdydz																							[2.9.5]
V dxdydz										2x y 16										2x,
G										0 z 2 x
				2 x
2	16 2x			2 x					2					16 2x
dx			dy dz					dx											(2 x)dy
0		2x		0					0							2x
2															2			3 2			2			2
2


(2 x)15			2xdx 15						2				2				x					x	5 2
(2 x)15			2xdx 15						2				2				x					x
															3						5
0															3						5			0
0																								0
						8	2				8		2
						8	2				8		2
	15				2												32.
	15				2	3						5					32.
						3						5

z G y

2 x

Рис. до зад. 11.3.1

Коментар. Тіло G			обмежено поверхнями: параболічними	циліндрами
			твірні яких паралельні осі Oz; площиною Oxy : z 0,
y 16 2x, y		2x,
площиною x z	2, яка паралельна осі Oy.
11.3.2. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями 2z x2 y2, z				2.
Розв’язання. [2.10.1.]
Об’єм тіла G знаходять за формулою

[2.10.1]

V(G) dxdydz.

11. Потрійний інтеграл

117

Тіло G циліндричне в напрямі осі Oz і проектується на площину Oxy в область DOxy, обмежену колом:

			2	2	,
2z x				y	,		2		2
						x	2	y	2	4.
						x		y		4.
	2
z	2
										z
	[2.9.4]					2				z	G
V dxdydz	[2.9.4]	dxdy				2					G
V dxdydz		dxdy					dz

G					DOxy	x2 y2
			x	2	y	2
			x		y

		2
		2			2	dxdy.
	D				2
	D
	Oxy

У подвійному інтегралі переходимо до полярних коорди-

нат [2.1.1]:

x2 y2 4; 2 4; 2; 0 2; .

O y

DOxy

2 x

[2.7.4]

		2
		2

2	2
	2
			d d

Коментар.  Тіло G обмежено поверхнями: параболоїдом 2z	x2 y2 і
площиною z 2 0 .
11.3.3. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями x2 y2	4x, z x,

z 2x.

Розв’язання. [2.10.1, 2.10.6.]

Об’єм тіла G знаходять за формулою

V(G) dxdydz.

Тіло циліндричне в напрямі осі Oz. Проекція D тіла на пло-

щину Oxy є круг x2 y2

4x.

Обчислимо інтеграл у циліндричній системі координат

[2.1.3] :

cos ,

sin ,

0, ( ; ]

;

[Записуємо рівняння поверхонь у циліндричних координатах.]

Рис. до зад. 11.3.3

118	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

					x2 y2		4x;		2	4 cos ;				4 cos .
							z x; z				cos ;
							z 2x; z				2 cos ;
						( ) 4 cos 0;											.
													2			2
											[2.9.6]
					V(G) dxdydz							d d dz
							G
				2			G					2	G
				2	4 cos		2 cos					2		4 cos
					d		d		dz				d		z \|2 coscos					d
				2		0	cos					2		0
				2		4 cos						2			3		4 cos
				2								2

				d			2 cos d						cos		3				d
				2		0						2			3		0
				2		0						2					0
				2			[2.3.5]			2				[2.3.8]						8 .
							[2.3.5]							[2.3.8]
		64			cos4	d		128		cos4 d					128				3 !!
		3			cos4	d				cos4 d						3
		3	2						3	0						3		4 !!		2
			2							0
Коментар.  Тіло G обмежене коловим циліндром x2																		y2		4x і площина-
ми z x	і z 2x.

 Від декартових до циліндричних координат [2.1.3] у потрійних інтегралах доцільно переходити для областей з осьовою симетрією.

11.3.4. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями x2 y2 z2 2Rz.

Розв’язання. [2.10.1.]

Об’єм тіла G знаходять за формулою

V(G) dxdydz.

Тіло G обмежено сферами:

x2 y2 z2 R2, x2 y2 (z R)2 R2

і міститься ззовні сфери з центром у точці O. Переходимо до сферичних координат [2.1.5]:

x2 y2 z2 R2,

Рис. до зад. 11.3.4

x2 y2 z2 R2; r2 R2; r R;
x2 y2 z2	2Rz; r2 2Rr cos ; r 2R cos .

r R,			1
		cos	1	;		.
		cos		;		.
r 2R cos ;			2		3
			2		3

11. Потрійний інтеграл

119

[2.9.8]

V(G) dxdydz

r2 sin d d dr

2R cos

d sin d r2dr

2 sin

2 R3

11 R3

(8 cos 1)sin d

11.4. Знайти масу тіла G,

заданого нерівностями

y, z 0,

з густиною розподілу маси (x,y, z)

5(x2

y2 )

Розв’язання. [2.10.2.]

Масу тіла G з густиною (x,y, z) знаходять за формулою

[2.10.2]

(x,y,z)dxdydz

5(x2 y2)

m(G)

dxdydz.

Тіло G — циліндричне в напрямі осі Oz.

Обмежене: знизу площиною z 0, зверху — конусом z 8x2 y2 ; і проектується на площину Oxy у півкруг.

m(G)				5(x2	y2)				[2.9.4]
				5(x2	y2)		dxdydz
					4		dxdydz
		G			4
		G
	5					8		x2 y2
	5	(x2	y2)dxdy						dz
	4	D					0
		Oxy
10 (x2 y2)3 2dxdy						[2.7.4]
10 (x2 y2)3 2dxdy							10 4d d
DOxy

y x

DOxy

2 x

Рис. до зад. 11.4

	2	5	2

10 d 4d 10 \|0		5	0
0	0

10 325 64 .

Коментар.  Тіло G обмежують поверхні: конус z2 64(x2 y2 ) (z 0);

циліндр x2 y2 4 і площини Oxz (y 0) та Oxy (z 0).

120	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

11.5. Знайти		координати центра мас тіла G, заданого нерівностями
x	y2	z2 3, x 0, з густиною розподілу маси (x,y, z) 0 .
6

Розв’язання. [2.8.4.]

Оскільки вісь Ox є віссю симетрії тіла, то yC zC 0.

Абсцису xC центра мас тіла знаходять за формулою

[2.10.4] M

xc mOyz ,

де

[2.10.3]

MOyz x (x,y,z)dxdydz;

[2.10.2]

m (x,y,z)dxdydz.

y z

DOzy

O y

Рис. до зад. 11.5

Тіло циліндричне в напрямі осі Ox

і проектується на площину Oyz у круг

y2 z2

[2.9.4]

6(y2 z2 )

m(G) 0dxdydz

0 dydz

DOyz

[2.7.4]

6 0 (y2 z2 )dydz

6 0 3d d

DOyz

9 27 0.

6 0 d 3d 6 0

[2.9.4]

6(y2 z2 )

MOyz 0xdxdydz

0 dydz

xdx

DOyz

[2.7.4]

18 0 (y2

z2 )2dydz 18 0 5d d

DOyz

27 162 0.

18 0 d 5d 18 0

MOyz

162 0

27 0

Центр мас C(6; 0; 0).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
01.05.2025305.66 Кб0Практикум зі складання МЕТОДИЧКА.doc
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.03.2025136.19 Кб0Практическая работа7.doc
#
01.05.20253.59 Mб0Практическая_часть-WordPress.doc
#
01.03.2025402.94 Кб2Практичні роботи 1-6.doc
#
12.05.201524.81 Кб180Практичні роботи.docx