amo_presentation_6

Полученная система уравнений

f (xi ) = a0 +a1xi +a2xi2 + ... +anxin , i = 0,...,n

однозначно разрешима (т. е. решение существует и единственно), так как по условию xi, i = 0,1,...,n различны.

Следовательно, в этом случае определитель системы отличен от нуля

1 xn xn2 xnn

Таким образом, коэффициенты a0,a1,...,an ,

получающиеся в результате решения данной системы, определяют единственный интерполяционный многочлен, построенный по (n +1)-й различной точке и имеющий степень не ниже n.

Пример построения интерполяционного многочлена Пример. Пусть известны значения функции f (x ) в узлах

x0,x1, т. е.

y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ).

Построить интерполяционный многочлен

P (x ) = a0 +a1x ,

совпадающий со значениями f (x ) в узлах x0,x1.

Решим данную систему методом исключения:

Строим интерполяционный многочлен, подставив в

выражение

P (x ) = a0 +a1x ,

значения коэффициентов a0 и a1

Преобразуем полученный полином

следующим образом

=x - x1 y0 + x - x0 y1

x0 - x1 x1 - x0

Интерполяционный многочлен Лагранжа для неравноотстоящих узлов

Постановка задачи. Пусть для функции y = f (x )

заданы значения yi = f (xi ) в неравноотстоящих (n + 1) узлах интерполяции,

y0 = f (x0 ),y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ),...,yn = f (xn ).

Требуется построить многочлен Ln (x ) степени не выше n , и принимающий в заданных узлах xi , i = 0,1,...,n значения, совпадающие со значениями функции f (x ),

Ln (xi ) = yi, i = 0,1,2,...,n .

Интерполяционный полином Лагранжа для неравноотстоящих узлов имеет вид:

n

Числитель – произведение разностей (x - xj ).

j =0 i¹j

n

Знаменатель – произведение разностей (xi - xj )

j =0 i¹j

Сокращенная форма записи многочлена

Введем вспомогательный многочлен wn +1 (x ) степени n + 1:

wn +1 (x ) = (x - x 0 ) (x - x1 ) ... (x - x i-1 ) (x - xi ) (x - xi+1 )

... (x - xn-1 ) (x - xn )

Пример:

w3 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )

w4 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )

w5 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )(x - x4 )

w6 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )(x - x4 )(x - x5 )

….

На примере w3 (x ) вычислим производную w3¢ (x ),