Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

Координати точки поділу відрізка

A z

;

AB з кінцями

A(xA;yA;zA),B(xB ;yB;zB ).

O x

yA yB

;

Кажуть, що точка M поділяє відрізок

AB у відношенні 1, якщо

zA zB

виконано співвідношення

AM MB.

Координати середини відрізка AB

x xA xB ,

y yA yB ,

zA zB

2.7. Проекція вектора на вісь

Векторна проекція. Пряму L, на

якій вибрано додатний напрям

(орієнтацію), називають віссю.

Додатний напрям

Векторною проекцією вектора

осі позначають

стрілкою.

a AB на вісь L з напрямним

вектором

називають вектор

Вектор

— напрямний вектор осі.

A B .

Скалярна проекція. Проекцією

prL

prs a

вектора

AB на вісь L з

напрямним вектором s (проекцією

A B

A B s ,

вектора на напрям вектора s )

A B

називають число

Обчислення проекції вектора

prs a

на напрям вектора

cos(a, s )

Властивості проекції вектора на напрям

a b prs a prs b ;

 prs (a b ) prs a prs b ;  prs ( a) prs a;


 pr		0,	якщо s A B ;
	a
s		0, якщо s
 prs					;
				a
	a

 pr		0,	якщо s A B
	a
s

32	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.8. Скалярний добуток векторів

Скалярне множення. Скалярним добутком двох векторів a та b називають число, що дорівнює добуткові довжин цих векторів на косинус кута між ними і позначають

(a,b ).*

Якщо хоча б один з векторів нульовий, то скалярний добуток вважають рівним нулеві.

(a,b )

cos(a,b )

(a,b ) a pra b b prb a

Ортогональність векторів. Вектори

та

називають ортогональними,

якщо їх скалярний добуток дорівнює нулеві і позначають

Вектори ортогональні, якщо хоча б

один з векторів нульовий або вони

перпендикулярні.

Нульовий вектор вважають

перпендикулярним до будь-якого

вектора.

Властивості скалярного добутку

комутативність скалярного

(

) (b,

)

множення

однорідність скалярного множення

(

) (

, b

)

дистрибутивність скалярного

(

) (

) (b

множення

(a,b c ) (a,b ) (a,c )

додатно-визначеність скалярного

(a,a )

добутку

(

) 0

* Ще використовують позначення a b .

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.9. Ортонормований базис

Ортонормованість базису. Базис

називають ортонормованим, якщо

 i

, j

;

його вектори попарно ортогональні і

мають одиничну довжину.

{i ,j ,k }



;



Скалярний добуток векторів

azk

(

) axbx ayby azbz

b bx

bzk

в ортонормованому базисі

Таблиця скалярного множення

(,)

Довжина вектора

)2 (a

Зв’язок між координатами і

проекціями вектора. Координати

вектора в ортонормованому базисі

дорівнюють проекціям вектора на

координатні осі.

a ax

prk

Напрямні косинуси. Напрямними

cos

, cos

косинусами вектора

називають

косинуси кутів, утворених вектором a

з векторами базису.

Координати орта вектора

cos

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.10. Застосування скалярного добутку

Довжина вектора

(

)

Кут

,b )

між ненульовими векторами a та b

cos(a,b )

(

)

(a,b ) arccos

Проекція вектора

(

)

на напрям вектора a

Критерій перпендикулярності.

Скалярний добуток векторів дорівнює

(

,b )

0 (

,b )

нулеві тоді й лише тоді, коли вектори

axbx ayby

azbz 0

перпендикулярні.

Робота сили F

під час

переміщення s

s BC

cos

)

2.11. Орієнтація

Орієнтація на площині. Базис

{e1,e2} задає додатну (від’ємну)

орієнтацію площини, якщо найкоротший перехід від вектора e1 до вектора e2, відбувається проти руху годинникової стрілки.

					
e2
			e
		1

	e1
				e2

Права і ліва трійка. Трійку некомпланарних векторів {e1,e2,e3}

називають правою (лівою), якщо найкоротший перехід від вектора e1 до вектора e2, відбувається проти руху

(за рухом) годинникової стрілки, коли дивитись на них з кінця вектора e3.

Базис {e1,e2,e3}, вектори якого утворюють праву трійку, задає додатну

орієнтацією простору.

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.12. Векторний добуток

Векторне множення. Векторним

добутком вектора

на

називають

вектор

, який:

1) перпендикулярний до векторів

та

;

2) завдовжки дорівнює добутку

довжин векторів на синус кута між

sin(a,b )

Векторний добуток колінеарних

ними;

3) напрямлений так, що вектори

векторів вважають рівним нульовому

векторові.

та c утворюють праву трійку.

Позначають

Властивості векторного добутку:

антикомутативність векторного

,b ] [b ,

]

добутку

однорідність векторного добутку

[

] [

]

, b

дистрибутивність векторного

b,c ] [a,c ] [b,c ],

добутку

[a,b c ] [a,b ] [a,c ]

Таблиця векторного множення

[, ]

(першим вибирають рядок)

Векторний добуток векторів

axi ay j azk ,

[

,b ]

b bx i by j bzk

в ортонормованому базисі

Ще використовують позначення a b .

36	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.13. Мішаний добуток

Векторно-скалярне множення.

Мішаним добутком векторів

та

([

) (a

,b ,

називають число — скалярний добуток

векторного добутку векторів

та

на

вектор

і позначають (

Властивості мішаного добутку:

у мішаному добутку знаки

([

) (a

])

векторного та скалярного добутків

можна міняти місцями

циклічне переставляння

([

) ([

],b ) ([b ,

)

співмножників не змінює мішаного

добутку

переставляння двох співмножників

)

) (b

змінює знак мішаного добутку

(c,b,a) (a,c,b )

мішаний добуток лінійний за будь-

( a1 a2,b,

)

яким множником

(

) (a2,b,

)

a1,b,

Мішаний добуток векторів

a axi ay j azk ,

(a,b ,c )

b bx i by j bzk ,

c cx i cy j czk

вортонормованому базисі

2.14.Застосування векторного і мішаного добутків

Площа паралелограма (трикутника),

[a,b ]

;

побудованого на векторах a та b

]

Висота паралелограма

(трикутника), опущена на сторону

[a,b ]

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА						37
Критерій колінеарності векторів	a b		[a,b ] 0
a та b .	a b		[a,b ] 0
a та b .	i		j		k
Два вектори a та b колінеарні тоді й	i		j		k
лише тоді, коли їхній векторний	ax		ay		az 0
добуток є нульовим вектором.	bx		by		bz
	bx		by		bz
Момент M сили F щодо точки O	MO (F) [OA, F ]					B
	MO (F) [OA, F ]				A	F
					A
					L
					M	O
						O
Об’єм паралелепіпеда (тетраедра)	Vпар		(a,b ,c ) ,
побудованого на векторах a,b ,c	Vпар		(a,b ,c ) ,
побудованого на векторах a,b ,c				1
	Vтетр			1	(a,b ,c )
				6
Висота паралелепіпеда (тетраедра),					(a,b ,c )
побудованого на векторах a,b ,c, на	h pr			c	(a,b ,c )
основу, яку утворюють вектори a та b		[a,b ]			[a,b ]
					[a,b ]

	[a,b ]

		h	b
			a
Взаємне розташування векторів
a,b та c .
Якщо (a,b ,c ) 0, то вектори	(a,b,c ) 0	a,b,c права трійка;
a,b ,c утворюють праву трійку.	(a,b,c ) 0	a,b,c ліва трійка
Якщо (a,b,c ) 0, то вектори a,b ,c
утворюють ліву трійку.
Критерій компланарності	a,b,c компланарні
векторів a,b та c .	a,b,c компланарні
векторів a,b та c .	(a,b,c) 0
Вектори a,b ,c компланарні тоді й	(a,b,c) 0
Вектори a,b ,c компланарні тоді й	ax		ay		az
лише тоді, коли (a,b ,c ) 0.	ax		ay		az
	bx		by		bz 0
	cx		cy		cz

38 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.15. Комплексні числа

Комплексне число. Комплексним

Комплексне число

числом z називають упорядковану

z зображують

пару дійсних чисел x та y.

точкою M(x;y)

x — дійсна частина, x Re z

або радіусом-

y — уявна частина, y Im z

вектором OM.

x x

Алгебрична форма

z x iy

комплексного числа



Рівність комплексних чисел

Сума (різниця) комплексних чисел

z1 z2

(x1

x2) i(y1

y2 )

Добуток комплексних чисел

z1z2 (x1x2

y1y2 ) i(x1y2

x2y1)

Натуральний степінь

z z z

комплексного числа

i1 i, i2 1, i3 i, i4 1

Спряжене до комплексного числа

x iy

Частка комплексних чисел

z1z2

Арифметичні дії над комплексними числами в алгебричній формі можна проводити як з алгебричними виразами, враховуючи, що i2 1.

Множина комплексних чисел.

Множину всіх комплексних чисел з означеними рівністю, додаванням і множенням називають множиною комплексних чисел і позначають .

Правдиві включення:

Дійна та уявна частини комплексного числа дійсні числа.

Поняття «більше» та «менше» для комплексних чисел не означують.

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.16. Полярна система координат

Полярна система координат.

Полярну систему координат задає:

1) точка O — полюс;

2) промінь, орієнтований одиничним

вектором i ,— полярна вісь;

P x

3) додатний напрям відліку кутів

Полярні координати:

(проти годинникової стрілки).

— полярний радіус ( 0);

— полярний кут.

Зв’язок між декартовими координатами і полярними координатами

x cos ,

;

cos

y sin ,

sin

Головне значення 0

полярного кута ( 0

; 0

2k ,k )

x 0,y 0

arctg y

arccos x

x 0,y 0

arctg y

arccos x

x 0,y 0

III

x 0,y 0

arctg y

arccos x

x 0,y 0

arctg x

arccos

40	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.17. Дії над комплексними числами у тригонометричній і показниковій формах

Тригонометрична (показникова)

z (cos i sin ) ei

форма комплексного числа

Ейлерова формула

ei cos i sin

e i 1

Модуль комплексного числа

x2 y2

Аргумент комплексного числа

Arg z

arg z 2 k,k

arg z

— головне значення Argz;

arg z ( ; ]

Добуток комплексних чисел

z1z2

1 2(cos( 1

2) i sin( 1 2))

ei( 1 2)

Спряження комплексного числа

(cos( ) i sin( )) e i

Частка комплексних чисел

(cos(

) i sin(

))

ei( 1 2 )

Натуральний степінь

n (cos n i sin n )

комплексного числа

nein ,n

Муаврова формула

(cos i sin )n

cos n i sin n

Корінь з комплексного числа

2 k

cos

i sin

k 0,n 1

Всі значення n

розташовані

у вершинах правильного n -кутника

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251.01 Mб0practical_5k_10sem_iff.doc
#
10.11.2018687.1 Кб8praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб64Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб27PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб53PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
01.04.2025274.43 Кб0Praktykum_2kurs_Komp_edition_and_publish_proces...doc
#
19.11.2018693.25 Кб18Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
01.05.2025346.62 Кб0Prakt_pidg.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc