Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.14. Дослідження розв’язності СЛАР

Розв’язок СЛАР. Розв’язком СЛАР

називають набір n значень невідомих x1 c1,..., xn cn, підставлення яких

у всі рівняння системи перетворює їх на тотожності. Розв’язок системи записують як стовпець c (cj )n .

Будь-який розв’язок системи називають її частинним розв’язком.

Множину всіх частинних розв’язків називають загальним розв’язком

системи.

Характеристики СЛАР. СЛАР

Дві системи називають рівносильними,

називають сумісною (розв’язною),

якщо кожний розв’язок першої

якщо вона має хоча б один розв’язок, і

системи є розв’язком другої, і навпаки.

несумісною (нерозв’язною), якщо вона

Усі несумісні системи вважають

не має розв’язків.

рівносильними.

Сумісну систему називають

визначеною, якщо вона має єдиний

розв’язок, і невизначеною, якщо вона

має більше як один розв’язок.

Теорема Кронекера — Капеллі.

СЛАР сумісна тоді й лише тоді, коли

ранг основної матриці системи дорівнює

СЛАР сумісна rang A rang A

рангові розширеної матриці системи.

Якщо ранг розширеної матриці

rang A r,

більше за ранг основної матриці

rang A r

системи, то система не має жодного

розв’язку.

СЛАР Am nx

Якщо ранг основної матриці системи

дорівнює рангові розширеної матриці і

дорівнює кількості невідомих, то

r r

система має єдиний розв’язок.

r n

Якщо ранг основної матриці системи

дорівнює рангові розширеної матриці,

але менший за кількість невідомих, то

єдиний

безліч

жодного

розв’язку

система має безліч розв’язків.

розв’язок

розв’язків

Розв’язати систему означає:

СЛАР з матрицею n n :

1) з’ясувати, чи є система сумісною

1) detA 0

або несумісною;

система має єдиний розв’язок;

2) якщо система сумісна, то знайти

2) detA 0

множину її розв’язків.

система не має жодного розв’язку або

має безліч розв’язків.

22 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.15. Методи розв’язання СЛАР

Матричний метод

A 1b

b x

(метод оберненої матриці)

(для невироджених систем,

det A 0)

Метод Крамера

(для невироджених систем)

, j 1,n,

стовпець

вільних

членів

j-й стовпець

матриці A

Матричний метод і метод Крамера застосовують лише до квадратних матриць.

Елементарними перетвореннями

СЛАР називають:

1)переставляння рівнянь;

2)множення обох частин якого-небудь рівняння на число, відмінне від нуля;

3)додавання до рівняння іншого рівняння, помноженого на деяке число.

Елементарні перетворення СЛАР приводять до відповідних елементарних перетворень рядків матриці та розширеної матриці системи.

СЛАР, одержані одна з одної елементарними перетвореннями,

називають еквівалентними.

Еквівалентні СЛАР рівносильні.

Алгоритм методу Ґауса — Йордана* (універсальний метод)

	Записують розширену матрицю							a1n			b1

					a11
системи.
системи.


								a			b
					a			a			b
						m1			mn		m

Зводять розширену матрицю до			1,k1 ... ...										1




східчастого вигляду (прямий хід			0	...	0	2,k	...						2
східчастого вигляду (прямий хід			0	...	0	2,k	...						2
							2

методу Ґауса).			... ... ... ...					...	...				...
			... ... ... ...					...	...				...


			0	...	0	0		...	0			... ...
			0	...	0	0		...	0		r,kr	... ...
											r,kr		r

			0	...	0	0		...	0		0	0
			0	...	0	0		...	0		0	0
													r 1

										... ... ...			...
		... ... ... ... ... ... ...								... ... ...			...


			0	...	0	0		...	0		0	... 0
			0	...	0	0		...	0		0	... 0
													m

* Цей метод ще називають методом елементарних перетворень.

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Досліджують систему на сумісність

Якщо хоча б один з вільних членів

(теорема Кронекера — Капеллі).

i ,i r 1,m, відмінний від нуля, то

система несумісна.

Якщо ж i

0,i r 1,m, то

система сумісна.

У разі сумісності, перетворюють

1 ... ...

східчасту матрицю до зведеного

1 ...

0 ...

...

східчастого вигляду.

... ... ... ... ...

0 ...

...

Знаходять розв’язки одержаної системи. Можливі 2 випадки:

1) кількість змінних дорівнює рангові

матриці системи (n r);

2 2,

..........

2) кількість змінних n більше

...

1,r 1 1

1,n n r

кількості рівнянь r

(n r ).

...

Змінні, які відповідають лідерам

2,r 1 1

2,n n r

................................................

рядків називають базисними , а решту

...

змінних — вільними.

n r

,r 1

r,n

, j 1,n r.

Надають вільним змінним довільних

n r

значень C

,...,C

і виражають через

n r

них базисні змінні.

1,r j

j 1

Нехай

...

n r

y ,y

,...,y

— базисні змінні;

1 2

,r j

yr 1,yr 2,...,yn — вільні змінні

j 1

...

Розв’язання матричного рівняння

An nXn l

Bn l

методом Ґауса — Йордана

(A | B)

елементарні перетворення

(для невироджених матриць A)

рядків розширеної матриці

(En | X)

* Кожне рівняння містить лише одну базисну змінну.

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.16. Однорідні і неоднорідні СЛАР

Однорідні й неоднорідні СЛАР.

Однорідна СЛАР завжди сумісна, бо в

СЛАР називають однорідною, якщо

неї існує тривіальний розв’язок

вільні члени всіх рівнянь нульові, і

x 0. Будь-яка лінійна комбінація

неоднорідною, якщо хоч один з них

розв’язків однорідної СЛАР є

відмінний від нуля.

розв’язком цієї системи.

Дослідження однорідної СЛАР.

rang A r

Якщо ранг матриці Am n однорідної

СЛАР дорівнює r, то система має

СЛАР Ax

n r лінійно незалежних розв’язків

r n

e1,e2,...,en r , які утворюють

фундаментальну систему розв’язків

безліч розв'язків

єдиний розв'язок

(ФСР).

з (n r) сталими

Кожний розв’язок однорідної СЛАР

лінійно виражається через сукупність

розв’язків, які утворюють ФСР цієї

системи.

Структура загального розв’язку

однорідної СЛАР. Якщо {e1,...,en r }

xзаг. одн.

— ФСР однорідної СЛАР, то

загальний розв’язок системи є

C1e1 C2e2

... Cn ren r

лінійною комбінацією розв’язків

e1,...,en r .

Структура загального розв’язку

неоднорідної СЛАР. Загальний

розв’язок неоднорідної СЛАР

xзаг. неодн.

xзаг. одн. xчаст. неодн.

дорівнює сумі загального розв’язку

відповідної однорідної СЛАР* і

деякого частинного розв’язку

неоднорідної СЛАР.

Однорідна СЛАР із квадратною матрицею A

 detA 0

система має єдиний

Однорідна СЛАР має ненульовий

розв’язок тоді й лише тоді, коли

розв’язок x 0;

 detA 0

система має безліч

detA 0.

розв’язків

*		b		0.
	Неоднорідній СЛАРAx	b	відповідає однорідна СЛАР Ax	0.

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.1. Вектори

Геометричний вектор.

Геометричним вектором називають

напрямлений відрізок. Першу точку

напрямленого відрізка називають

початком вектора, а другу — кінцем

вектора. Довжиною вектора

називають довжину відрізка AB

і позначають як

Колінеарність векторів. Вектори

називають колінеарними (позначають

), якщо вони лежать на одній прямій

(

)

або на паралельних прямих.

Колінеарні вектори можуть бути:

1) однаково-напрямлені (позначають )

2) протилежно напрямлені

(

b )

(позначають ).

Компланарність векторів. Вектори

називають компланарними, якщо вони

лежать в одній або паралельних

площинах .

Нульовий вектор. Якщо початок і

Одиничний вектор. Вектор,

кінець вектора збігаються, то вектор

довжина якого дорівнює одиниці,

називають нульовим і позначають

називають одиничним.

Нульовий вектор вважають

колінеарним будь-якому векторові.

Протилежні вектори. Вектори, які

мають однакову довжину і протилежно

напрямлені, називають протилежними.

Колінеарність розглядають для двох і більше векторів.

Компланарність розглядають для трьох і більше векторів.

26			Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
2.2. Дії над векторами
Рівність векторів. Два вектори								a		b
називають рівними, якщо вони										b
колінеарні, однаково напрямлені і
мають ту саму довжину.								a b
Відкладання вектора від точки.										B
Від будь-якої точки можна відкласти							a			B
Від будь-якої точки можна відкласти							a
вектор, рівний заданому.										a AB
									A
Додавання (віднімання) векторів
правило			правило			правило замикача				різниця векторів
трикутника			паралелограма			A2				A
						A2				A
	A				B	a2		an		a
a		b	A			A1				a	C
			A			A1					C
						a1			An		b
						a1			An		b
			a		C	O a a	2	... a		O
O	a b	B		b	C	1	2		n
O	a b	B
			O
			O
Множення вектора на число						1
Множення вектора на число						2 a				2a
a — вектор:						2 a
a — вектор:
1) a	a ;						a
a a,		якщо 0,					a
a a,		якщо 0,
2) a a, якщо 0
Властивості лінійних дій над векторами
a b b a;						1 a a, ( a ) ( 1) a;
(a b ) c a (b c );						 ( a ) ( ) a;
 0 a a;						 (a b ) a b ;
a ( a ) 0						( ) a a a
Орт. Ортом вектора a називають								a 0		1
одиничний вектор a 0, який однаково								a 0	a a
напрямлений з вектором a.								a a a 0
								a a a 0

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.3. Лінійна залежність (незалежність) векторів

Лінійна комбінація векторів. Лінійною комбінацією векторів a1,a2,...,an з

коефіцієнтами 1, 2,..., n називають вектор b 1a1 2a2 ... nan.

Лінійна незалежність системи

Лінійна залежність системи

векторів. Система векторів

a1,a2,...,an лінійно незалежна, якщо з

a1,a2,...,an лінійно залежна, якщо

рівності

існують такі числа 1, 2,..., n, не

a1 2a

2 ... n

an 0

рівні одночасно нулеві, що

випливає, що

a1 2

2 ... n

an 0.

1 2 ... n 0.

Геометричний зміст лінійної залежності (незалежності) векторів

Один вектор лінійно залежний (незалежний) тоді й лише тоді, коли він нульовий (ненульовий).

Система із двох векторів лінійно залежна (незалежна) тоді й лише тоді, коли вектори колінеарні (неколінеарні). Система із трьох векторів лінійно залежна (незалежна) тоді й лише тоді, коли вони компланарні (некомпланарні).

На прямій, на площині й у просторі існують лінійно незалежні системи відповідно з одного, двох та трьох векторів.

На прямій, на площині й у просторі будь-які системи відповідно із двох, трьох та чотирьох (і більше) векторів лінійно залежні.

2.4. Базис

Векторний геометричний

Базис і вимірність векторного

простір. Множину геометричних

простору. Базисом векторного

векторів з означеними лінійними діями

простору називають будь-яку

над векторами називають векторним

лінійно незалежну систему з

(геометричним) простором .

найбільшою можливою кількістю

векторів. Кількість векторів базису

простору називають його вимірністю.

Базис на прямій утворює будь-який

ненульовий вектор

. Будь-який

вектор a прямої єдиним чином

лінійно виражається через вектор

Вектор b лінійно виражається через вектори a1,a2,...,an .

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

Базис на площині утворює будь-яка

впорядкована пара неколінеарних

векторів e та e .

Будь-який вектор площини єдиним

чином лінійно виражається через

e1 E

вектори базису {e1,e2}.

e1 a2

Базис у просторі утворює будь-яка

впорядкована трійка некомпланарних

векторів

та

e1,e2

e3.

Будь-який вектор простору єдиним

чином лінійно виражається через

вектори базису {e1,e2,e3}.

e1 a2

e2 a3

2.5. Координати вектора

Розкладання

вектора за

базисом.

Вибраний базис встановлює взаємно

Співвідношення

однозначну відповідність між

векторами і їхніми координатними

x x1e1 x2e2 x3e3

стовпцями:

називають розкладом вектора

за базисом {e ,e ,e }. Числа x ,x

2 3

називають координатами вектора x

}

у базисі {e ,e ,e }.

,e3 }

1 2 3

{e1,e2

де x{

}

— координатний стовпець

вектора

Рівність векторів.

Рівним векторам відповідають рівні

x y

координати.

{

}

{

}

Додавання (віднімання) векторів.

Додаванню (відніманню) векторів

2 y2

відповідає додавання (віднімання) їх

y x

координат.

{

}

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

Множення вектора на число.

Множенню вектора на число

відповідає множення всіх його

координат на це число.

3 {

}

Умова колінеарності векторів.

Вектори x 0 та y колінеарні тоді й

x y

лише тоді, коли існує таке число , що

y x.

Координати колінеарних векторів у

фіксованому базисі пропорційні.

Система векторів a1,a2,...,an лінійно незалежна тоді й лише тоді, коли система їхніх координатних стовпців a1,a2,...,an у вибраному базисі лінійно незалежна.

2.6. Прямокутна декартова система координат

Радіус-вектор. Радіусом-вектором

точки M (щодо точки O) називають

вектор

rM OM .

Кут між векторами. Кутом між

векторами a OA та b OB

вважають величину кута AOB і

позначають (

,b ).

Перпендикулярність векторів.

Вектори

називають

та b

перпендикулярними, якщо (a,b )

позначають

Система координат на прямій.

Сукупність {O;

} точки O (початку

координат) і базису з одиничного

вектора

називають декартовою

системою координат на прямій.

2 0

0 x

Пряму, на якій запроваджено систему

координат, називають координатною

віссю Ox.

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

ПДСК на площині. Сукупність

M(x;y)

{O; i , j } точки O (початку координат)

і базису з одиничних

rM xi

перпендикулярних векторів i

та j

називають прямокутною декартовою

системою координат на площині.

вісь абсцис

Осі координат:

1) вісь абсцис Ox i ;

2) вісь ординат

Oy j .

x — абсциса;

Площину, на якій запроваджено

y — ордината.

систему координат, називають

{i ,j }

координатною площиною Oxy.

Координати точки M(x;y) — це

координати її радіуса-вектора

ПДСК у просторі. Сукупність

{O;i , j ,k } точки O (початку

координат) і базису з одиничних

попарно перпендикулярних векторів

i , j

та k

називають прямокутною

rM xi

декартовою системою координат

у просторі.

Осі координат:

1) вісь абсцис Ox i ;

2) вісь ординат Oy j ;

3) вісь аплікат Oz k .

x — абсциса;

Координатні площини: Oxy,Oyz,Oxz.

y — ордината;

Координати точки M(x;y;z) — це

z — апліката

координати її радіуса-вектора

{i ,j ,k }

Координати вектора з початком

xB xA

A(x

;y ;z

)

B(x

;y ;z

)

і кінцем

AB yB yA

AB rB rA.

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.202568.45 Кб0PR4_Zoshit_Zadacha_6_shum.docx
#
10.11.2018687.1 Кб8praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб64Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб27PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб53PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
01.04.2025274.43 Кб0Praktykum_2kurs_Komp_edition_and_publish_proces...doc
#
19.11.2018693.25 Кб15Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
01.05.2025346.62 Кб0Prakt_pidg.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc