Конспект МАТАН2

Приміром, для функції z xy маємо:

1)zx yxy 1 (за правилом диференціювання степеневої функції, y — стала);

2)zy xy ln x (за правилом диференціювання показникової функції, x —

стала).

Для функції u f(x1, x2, ..., xn ) можна означити n частинних похідних:

Знаходять частинну похідну за певною змінною за правилами і формулами диференціювання функцій однієї змінної, при цьому решту змінних вважають сталими.

2.2. Диференційовність функції

Нагадаймо, що функцію y f (x) називають диференційовною в точці x0, як-

що її приріст у цій точці можна записати у вигляді

f (x0 ) f(x0 x) f (x0 ) A x x,

де A A(x0 ) стала щодо x, ( x) — н. м. ф., коли x 0. Необхідною і достатньою умовою диференційовності функції y f (x) у

точці x0 є існування скінченної похідної

f (x0 ) lim f (x0 ) A.

x 0 x

Розгляньмо функцію z f (x,y) означену в деякому околі U(M0 ) і точку

M0(x0;y0 ) і M1(x0 x,y0 y) U(M0 ).

Повним приростом функції z f (x,y), який відповідає приростам аргу-

ментів

x x x0, y y y0,

називають різницю

z(M0 ) f(x0 x,y0 y) f(x0,y0 ) f(M) f(M0 ).

Означення 2.2. Функцію z f (x, y) називають диференційовною в точці M0,

якщо в деякому околі цієї точки повний приріст функції можна записати як

f(M0 ) A x B y x y,

де A A(M0 ), B B(M0 ) — сталі щодо x, y;

( x, y) 0 і ( x, y) 0, коли x 0, y 0.

диференційовна в точці M0(x0;y0 ), то:

1) в цій точці існують частинні похідні за обома змінними, причому

f (M0 ) A; f(M0 ) B;

x x

2)функція неперервна в точці M0.

1) Для точки (x0 x;y0 ) маємо:

f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) A x x.

Звідси, розділивши обидві частини цієї рівності на x 0 і враховуючи означення, маємо

2.3. Повний диференціал функції

Розгляньмо диференційовну в точці M0(x0;y0 ) функцію z f (x, y).

Означення 2.3. Повним диференціалом функції z f (x, y) у точці M0 нази-

вають лінійну щодо x та y частину повного приросту цієї функції в точці M0 і позначають

df(M0 ) dz(M0 ) f (M0 ) x f (M0 ) y.

x y

і позначають dx f (M0 ) та dy f (M0 ). Отже,

df (M0 ) dx f (M0 ) dy f (M0 ).

З означення випливає, що при достатньо малих x та y правдива на-

ближена рівність

f (M0) df(M0)

f(x0 x,y0 y) f(x0,y0) fx (x0,y0) x fy (x0,y0) y,

яку використовують у наближених обчисленнях.

Оскільки для незалежних змінних dx x,dy y, формула для обчислення диференціала набуває вигляду

2.4. Похідна складеної функції. Інваріантність повного диференціала

Розгляньмо функцію z f (x, y) двох змінних x та y, кожна з яких є функцією

незалежної змінної t :

x x(t), y y(t),

тоді функція f (x(t), y(t)) є складеною функцією змінної t.

Теорема 2.3. Якщо функції x x(t), y y(t) диференційовні в точці t, а функція z f (x, y) диференційовна в точці M(x;y), то складена функція z f (x(t), y(t)) також диференційовна в точці t і її похідну знаходять за формулою

2.5. Похідна неявної функції

Розгляньмо рівняння

F(x, y, z) 0.

Якщо кожній парі чисел x та y з деякої множини відповідає єдине значен-

Приклад 2.5. Знайти частинні похідні функції z (x, y), якщо ez x2y z 10 0.

2.6. Частинні похідні вищих порядків

Якщо функція z f (x, y) задана в області D і має частинні похідні zx , zy у

всіх точках (x;y) D, то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області D.

16 Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Для функції z f (x, y) можна ще розглянути:

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних 2-го порядку функції f (x, y), то їх називають частинними похідними 3-го порядку функції f (x, y) (іс-

Така сама теорема правдива для будь-яких неперервних мішаних похідних, що різняться між собою лише порядком диференціювання.

Приклад 2.6. Знайти похідні 2-го порядку функції z ln(2x 3y).

2.7. Диференціали вищих порядків

Диференціал 2-го порядку функції z f (x, y) означують формулою

d2z d(dz).

Цей вираз розуміють так: двочлен, який стоїть у правій частині співвідношення, треба розкрити за формулою біному Ньютона, а потім одержаним виразом подіяти почленно на функцію z(x,y).

Для функції u f (x1, x2,...,xn ) від n незалежних змінних x1,x2,...,xn ди-

ференціал m -го порядку знаходять за формулою:

2.8. Тейлорова формула для функції двох змінних

Для (n 1) разів неперервно диференційовної функції однієї змінної y f (x) можна записати формулу Тейлора в диференціальній формі із залишковим членом у формі Лаґранжа:

Теорема 2.6. Якщо функція z f(x,y) (n 1) разів неперервно диференці-

йовна в деякому околі точки M0(x0;y0 ), то для неї правдива Тейлорова фор-

мула n -го порядку в околі точки M0

Лекція 3. Похідна за напрямом і градієнт скалярного поля

3.1. Скалярне поле

За допомогою поняття поля описують чимало явищ сучасної фізики.

Полем величини називають частину простору D, з кожною точкою M якої в кожний момент часу t зв’язано значення величини . Тому є функцією точки M та часу t.

Величини, які описують фізичні явища, належать (переважно) до двох основних типів: скалярні і векторні.

Якщо величина є скалярною (густина, температура, тиск тощо), то й поле називають скалярним. Якщо є вектором (швидкість, сила тощо), то відпо-