Juk_Ilyenko_Moklyachuk_Orlovskiy_DM_praktikum

Рис. 2.5.

Будемо мати:

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16};

= { 9, 10, 7, 8, 13, 14, 15, 16};

40

= { 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 16};

= { 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16};

= { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.

Розглянемо перше рiвняння системи. З огляду на заданий вище спосiб представлення вихiдних множин, будемо мати, що = { 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15

= { 5, 6, 13, 14}. Для досягнення рiвностi цих множин необхiдно, щоб множини 2, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15 були порожнiми. Звiдси слiдує,

що

= { 10, 12, 13, 16}, = { 6, 7, 13, 16}, = { 3, 7, 12, 16}, = { 6, 10, 12, 16}.

Розглянемо тепер друге рiвняння системи. Маємо, що ∩ = { 12, 16},

= { 6, 10, 12, 13, 16}. Щоб цi множини спiвпадали, необхiдно, щоб множини 6, 10, 13 були порожнiми. Врахувавши це, будемо мати

= { 12, 16}, = { 7, 16}, = { 3, 7, 12, 16}, = { 12, 16}.

Розглянемо третє рiвняння системи. Так як = { 7}, =

, то для рiвностi цих двух множин необхiдно, щоб множина 7 була порожньою.

Остаточно отримаємо

= { 1, 3, 12, 16}, = { 12, 16}, = { 16}, = { 3, 12, 16}.

Бачимо, що = , .

Перевiримо, що множина = є розв’язком вихiдної системи. Якщо виконано включення , то можна записати

= { }, = { , }, = { , , }, = { , , , }

41

= = { , }, = = ,

= = , ∩ = { , } = .

Як бачимо, всi рiвняння системи виконуються, тобто множина =

є розв’язком вихiдної системи за умови виконання включень.

Задачi для аудиторної та домашньої роботи

№ 2.7. Для унiверсальної множини = {−5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5}, пiдмножин та унiверсальної множини знайти:

а) ∩ , , , , , , = ( ) ;

б) З’ясувати взаємне розташування множин та ;

в) Знайти ( ) та | ( )|.

1.= {−1, 1, 4, 3}, = { | 4 + 3 − 12 2 − 28 − 16 = 0}

2.= {−1, 1, 2, 3}, = { | 4 + 7 3 + 13 2 − 3 − 18 = 0}

3.= {−1, 1, 3, 4}, = { | 4 − 2 3 − 12 2 + 18 + 27 = 0}

4.= {−1, 1, 2, 3}, = { | 4 − 17 2 + 36 − 20 = 0}

5.= {−2, 1, 3, 4}, = { | 4 − 11 2 − 18 − 8 = 0}

6.= {−1, 1, 4, 5}, = { | 4 + 3 3 − 9 2 − 23 − 12 = 0}

7.= {−3, −1, 1, 2}, = { | 4 − 2 3 − 7 2 + 20 − 12 = 0}

8.= {−4, −1, 1, 2}, = { | 4 − 11 2 + 18 − 8 = 0}

9.= {−2, −1, 3, 5}, = { | 4 + 3 3 − 7 2 − 15 + 18 = 0}

42

10.= {−3, −1, 1, 2}, = { | 4 + 5 3 + 2 − 21 − 18 = 0}

№2.8. Зобразити на координанiй площинi множину , утворену з множин , , .

1.= {( , )| 2 + 2 − 6 ≤ 0}, = {( , )| + 2 + 1 ≥ 0}, =

{( , )|| | ≤ 6, −3 < < −2}, = ( )

2.= {( , )|0 ≤ ≤ √ }, = {( , )|2 ≤ ≤ 6, −3 ≤ ≤ 1},

= {( , )| 2 + 2 − 18 ≤ 0}, = ( )

3.= {( , )| − 2 − 1 ≤ 0}, = {( , )| − 2 + 3 ≥ 0}, =

{( , )| > 0}, = ( )

4. = {( , )| 2 + 2 − 4 ≤ 0}, = {( , )| 2 + 2 + 4 ≤ 0},

= {( , )|| | ≤ 2, | | ≤ 2}, = ( )

5.= {( , )| − 4/ ≤ 0}, = {( , )| 2 + 2 − 25 ≤ 0}, =

{( , )|| | ≤ 1, | | ≤ 1}, = ( ∩ )

8.= {( , )|| | ≤ 5, | | ≤ 1}, = {( , )|| | ≤ 1, | | ≤ 5}, =

{( , )| 2 + 2 ≤ 16}, = ( )

9.= {( , )| 2 − − 2 ≥ 0}, = {( , )| 2 − + 4 ≥ 0}, =

{( , )| > 1}, = ( ∩ )

43

10.= {( , )| 2 + 2 + 6 ≤ 0}, = {( , )| + 2 + 1 ≥ 0}, =

{( , )|| | ≤ 4, −4 ≤ ≤ −2}, = ∩ ( )

№2.9. Чи iснують такi непорожнi множини , та , щоб виконувався наступний набiр умов?

1.= = = , ̸=

2.= = = , ∩ =

3.= ∩ = , ∩ ̸=

4.= = , ̸=

5.∩ = = , =

6.= = = , ̸=

7.= = = , ̸=

8.= ( ) ∩ = , ̸=

9.= ( ) ∩ = , ̸=

10.= = = , ̸=

11.( ) = = = , ̸=

12.= ∩ = , ̸=

13.= = ( ) = , ̸=

14.∩ = = , ̸=

15.= = , ̸=

44

16.∩ = ∩ = = , ∩ ̸=

17.∩ = = , ̸=

18.∩ = ( ) = , ̸=

19.∩ = = , ̸=

№2.10. З’ясувати взаємне розташування множин , ,

1.D = , E = ( ∩ ) ( ∩ )), F = ( ∩ ) ( ∩( ))

2.D = ( ) ( ∩ ), E = , F = ( ) ( ∩ ) ( )

3.D = ( ∩ ) ( ) , E = , F = ( ∩ ) ( ∩ )

4.D = (( ) ) ( ∩ ), E = , F = ( ∩ )

5.D = ( ∩ ) ( ) , E = , F = ( ) ( ∩)

6.D = ( ), E = ( ∩ ) ( ∩ ), F =

7.D = ( ∩ ), E = ( ∩ ) (( ) ), F =

8.D = ( ∩ ) , E = , F = ( ∩ ) ( ∩ ( ))

9.D = ( ∩ ( )), E = ( ∩ ) (( ) ), F =

10.D = ( ∩ ), E = , F = (( ) ) ( ∩ )

45

№2.11. Перевiрити, що включення є необхiдною i достатньою умовою рiвностi

1.= ( )

2.= ( ) (( ) )

3.∩ = ( ) ( )

4.= ( ) ( )

5.= ( ) ( )

6.= ( ) ( ∩ )

7.= ( ∩ )

8.= ( ) ( ∩ )

9.= ( ) (( ∩ ) )

10.= ( )

№2.12. Розв’язати систему спiввiдношень вiдносно множини та вказати умови сумiсностi

46

№ 2.13. Розв’язати систему спiввiдношень вiдносно множини та вка-

зати умови сумiсностi, або довести її несумiснiсть

47

48