Juk_Ilyenko_Moklyachuk_Orlovskiy_DM_praktikum
.pdf
МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦIОНАЛЬНИЙ ТЕХНIЧНИЙ УНIВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ ПОЛIТЕХНIЧНИЙ IНСТИТУТ
В.А. Жук, А.Б. Iльєнко, О.М. Моклячук, I.В. Орловський
ПРАКТИКУМ З РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
З ДИСКРЕТНОЇ МАТЕМАТИКИ
множини, вiдношення, комбiнаторика, булевi функцiї
Київ 2013
Змiст
Вступ |
3 |
|
Теоретичнi вiдомостi |
4 |
|
1. |
Елементи математичної логiки . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
2. |
Множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
3. |
Бiнарнi вiдношення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
4. |
Функцiональнi вiдношення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
5. |
Основи комбiнаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
6. |
Генератриси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
7.Рекурентнi спiввiдношення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.Алгебра логiки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.Булевi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10. |
Нормальнi форми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
11. |
Досконалi нормальнi форми . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
12.Системи булевих функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13.Мiнiмiзацiя булевих функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14.Основи теорiї графiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15.Основи теорiї груп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 |
Елементи алгебри висловлювань |
26 |
2 |
Алгебра множин |
32 |
1
3 |
Вiдношення та дiї над ними |
49 |
4 |
Функцiональнi вiдношення |
61 |
5 |
Основи комбiнаторики |
71 |
6 |
Перестановки з повтореннями та розбиття |
76 |
7 |
Формула включень та виключень |
83 |
8 |
Генератриси та їх застосування |
89 |
9 |
Експоненцiйнi генератриси |
98 |
10 |
Рекурентнi спiввiдношення |
103 |
11 |
Алгебра логiки. Нормальнi форми |
113 |
12 |
Булевi функцiї. Досконалi форми |
120 |
13 |
Повнi системи булевих функцiй |
129 |
14 |
Мiнiмiзацiя булевих функцiй |
139 |
15 |
Основи теорiї графiв |
148 |
16 |
Основи теорiї груп |
154 |
Список рекомендованої лiтератури |
161 |
|
2
ВСТУП
Практикум з дискретної математики “Множини, вiдношення, комбiнаторика, булевi функцiї” складено на основi дiючих навчальних програм спецiальностей “Математика” та “Фiзика” кредитного модулю “Дискре-
тна математика” та призначений для студентiв першого фiзико-математичного факультету НТУУ КПI. Практикум мiстить наступнi роздiли дисциплi-
ни:
–основи алгебри логiки;
–алгебра множин;
–вiдношення та функцiональнi вiдношення;
–комбiнаторика;
–генератриси та їх застосування;
–рекурентнi спiввiдношення;
–алгебра логiки та булевi функцiї;
–теорiя графiв.
У практикумi подано задачi, розв’язок яких необхiдний для успiшного оволодiння матерiалом курсу. Наведено широкий спектр розв’язаних задач, якi є зразком належного оформлення самостiйної роботи, та задачi для самостiйної роботи в аудиторiї i домашнього завдання.
Самостiйне розв’язання задач передбачає активну роботу з теоретичним матерiалом, використання конспекту лекцiй, пiдручникiв та посiбникiв. Деякi з них подано у списку рекомендованої лiтератури.
3
ТЕОРЕТИЧНI ВIДОМОСТI
1. Елементи математичної логiки
Висловлювання - це речення, про яке можна сказати, iстинне воно чи хибне.
Рiвносильнiсть висловлювань |
|
Висловлювання та рiвносильнi, |
|
|
|
якщо iх значення спiвпадають. |
|
|
|
|
|
Тавтологiя |
|
Якщо висловлювання завжди |
|
|
|
iстинне, його називають тотожно |
|
|
|
iстинним або тавтологiєю. |
|
|
|
|
|
Протирiччя |
|
Якщо висловлювання завжди |
|
|
|
хибне, його називають завжди хи- |
|
|
|
бним або протирiччям. |
|
|
|
|
|
Операцiї над висловлюваннями |
|||
|
|
|
|
Заперечення |
|
|
iстинне тiльки тодi, коли хибне |
|
|
||
Кон’юнкцiя |
|
iстинна тiльки тодi, коли та |
|
|
|
iстиннi |
|
|
|
|
|
Диз’юнкцiя |
|
iстинна тодi, коли iстинне хо- |
|
|
|
ча б одне з або |
|
|
|
|
|
Iмплiкацiя |
|
→ хибна лише тодi, коли |
|
|
|
iстинне, а хибне |
|
|
|
|
|
Заперечення |
|
9 iстинне лише тодi, коли |
|
|
|
iстинне, а хибне |
|
|
|
|
|
4
Еквiваленцiя |
|
iстинна тодi, коли значення |
||||
|
|
|
та спiвпадають |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Пряма сума |
|
iстинна тодi, коли значення |
||||
|
|
|
та не спiвпадають |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Штрих Шефера |
|
| хибний лише тодi, коли та |
||||
|
|
|
iстиннi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стрiлка Пiрса |
|
↓ iстинна лише тодi, коли та |
||||
|
|
|
хибнi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця iстинностi |
- таблиця, де записанi значення вихiдних |
|||||
висловлювань та вiдповiдний результат логiчних операцiй. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Таблицi iстинностi для вищенаведених операцiй |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
9 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
↓ |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Основнi рiвносильностi алгебри висловлювань |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Комутативнi закони |
|
≡ |
|
|||
|
|
|
≡ |
|
||
Асоцiативнi закони |
|
( ) ≡ ( ) |
|
|||
|
|
|
( ) ≡ ( ) |
|
||
5
Дистрибутивнi закони |
|
( ) ≡ ( ) ( ) |
||||||
|
|
( ) ≡ ( ) ( ) |
||||||
Закони iдемпотентностi |
|
≡ |
|
|||||
|
|
≡ |
|
|||||
Тотожностi з константами |
|
0 ≡ 0 |
1 ≡ |
|||||
|
|
0 ≡ |
1 ≡ 1 |
|||||
Закони поглинання |
|
( ) ≡ |
||||||
|
|
( ) ≡ |
||||||
Закони де Моргана |
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Закон виключення третього |
|
|
≡ 1 |
|
||||
|
|
|
||||||
Закон протирiччя |
|
|
≡ 0 |
|
||||
|
|
|
||||||
Закон подвiйного заперечення |
|
|
|
|||||
|
|
≡ |
|
|||||
|
|
|
||||||
Правило викреслювання |
|
|
≡ |
|||||
|
|
|||||||
6
2. Множини
Множина - це сукупнiсть об’єктiв довiльної природи, якi об’єднанi певною ознакою. Об’єкти, якi утворюють множину,
називаються її елементами.
належить множинi |
|
не належить множинi |
/ |
Унiверсальна множина (множи- |
|
на всiх елементiв, якi розглядаю- |
|
ться в задачi |
|
|
|
Порожня множина не мiстить |
|
жодного елементу |
|
|
|
Способи задавання множин |
|
|
|
а) перелiком елементiв |
= { 1, 2, . . . , } |
б) характерною властивiстю |
= { | ( )} - множина всiх , |
|
що мають властивiсть ( ) |
|
|
Включення множин |
( ); |
|
; |
Рiвнiсть множин |
= ( ) |
Об’єднання множин |
= { | або }; |
|
= ; = |
Перетин множин |
∩ = { | та } ∩ |
|
= ; = |
Рiзниця множин |
= { | та / }; |
|
= ; = |
7
Симетрична рiзниця множин |
|
= { | та / ∩ |
||||||||||||
|
|
} = = ( ) ( ∩ ) |
||||||||||||
Доповнення множини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= { | / } = |
|||||||||||||
Потужнiсть множини |
|
| | - кiлькiсть всiх елементiв |
||||||||||||
Сiм’я пiдмножин множини |
|
( ) - множина всiх пiдмножин |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Загальне положення множин |
|
Iснують елементи , , такi, що |
||||||||||||
та |
|
та / , / та , |
||||||||||||
|
|
та |
||||||||||||
Основнi властивостi дiй над множинами |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комутативнiсть об’єднання |
|
= |
||||||||||||
Комутативнiсть перетину |
|
∩ = ∩ |
||||||||||||
Асоцiативнiсть об’єднання |
|
( ) = ( ) |
||||||||||||
Асоцiативнiсть перетину |
|
∩ ( ∩ ) = ( ∩ ) ∩ |
||||||||||||
Дистрибутивнiсть об’єднання що- |
|
( ∩ ) = ( ) ∩ ( ) |
||||||||||||
до перетину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дистрибутивнiсть перетину щодо |
|
∩ ( ) = ( ∩ ) ( ∩ ) |
||||||||||||
об’єднання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закони де Моргана |
|
|
= |
|
∩ |
|
; |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∩ |
|
|
||||||||
Закони поглинання |
|
( ∩ ) = ; ∩ ( ) = |
||||||||||||
8
3. Бiнарнi вiдношення
Бiнарне вiдношення на множинi - це пара = ( , ), де - область задання вiдношення, а - графiк вiдношення, причому 2
i вступають в вiдношення |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i не вступають в вiдношення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дiагональ множини |
|
= {( , )| } |
||||
Властивостi бiнарних вiдношень |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Рефлексивнiсть |
|
: |
|
|||
Iррефлексивнiсть |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Симетричнiсть |
|
, : → |
||||
Антисиметричнiсть |
|
, : , → = |
||||
Транзитивнiсть |
|
, , : , → |
||||
Зв’язнiсть |
|
, : ̸= → або |
||||
Основнi типи бiнарних вiдношень |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Вiдношення часткового порядку |
|
рефлексивне, |
антисиметричне, |
|||
|
|
транзитивне |
|
|||
|
|
|
|
|||
Вiдношення лiнiйного порядку |
|
рефлексивне, |
антисиметричне, |
|||
|
|
транзитивне, зв’язне |
||||
|
|
|
|
|||
Вiдношення строгого порядку |
|
iррефлексивне, |
антисиметричне, |
|||
|
|
транзитивне |
|
|||
|
|
|
|
|||
Вiдношення строгого лiнiйного по- |
|
iррефлексивне, |
антисиметричне, |
|||
рядку |
|
транзитивне, зв’язне |
||||
|
|
|
||||
Вiдношення еквiвалентностi |
|
рефлексивне, симетричне, транзи- |
||||
|
|
тивне |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
9