Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLA+AG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1. Матриці

1.21.Задано матриці A, B та C. Знайдіть найраціональнішим способом добуток ABC, якщо:

								4
								4


		4	2	9 7				3
		4	2	9 7				3
1) A										,C
1) A						, B				,C
	8		3 11 0					2
	8		3 11 0					2



							8

	3		12			1	1 3

2)					, B
2)	A				, B		4 0		,C
	4		3			2	4 0

( 1 9 3 6);

	1
	1


	0
	0	.


5

										2			1
									1	2			1	0
1.22.	Для матриць						A				, B						знайдіть						найраціональнішим
1.22.	Для матриць						A			1	, B		1				знайдіть						найраціональнішим
									3	1			1	4

	способом:
						T		T								1				T			T
						T		T								1				T
	1) A B (A						B		);				2)					B				B .
	1) A B (A						B		);				2)					B				B .
																2
																2
1.23.	Знайдіть матрицю:
					3										0 1				0		3
					3										0 1				0
			1
			1	2
	1)					;									0 0 1							;
	1)					;							2)		0 0 1							;
		0		1

															0 0 0

		1 a		n													1 n

	3)				, a , n ;								4)								,	, n .
	3)				, a , n ;								4)		0						,	, n .
		0 1													0

1.24.	Задано многочлен								f (x) x 2			5x 2.			Знайдіть значення матричного
	многочлена f(A):
					1															1
					1	2														1		2
	1) A												2)A
	1) A					;							2)A									;
				3		4												1				3

					1	2	3												1			3	0
					1	2	3												1			3	0


	3) A				2	4 1							4) A						0			2 1
	3) A				2	4 1		;					4) A						0			2 1		.


				3		5 2												3				3 2

1.25.	Переконайтесь, що матриця A справджує рівняння:

72	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

		3	2	2
		3	2	2

							3			2
1)		2	2 0		, A		3	9A		2	18A O;
1)	A	2	2 0		, A			9A			18A O;

		2	0	4
		2	0	4

		0	1	0
		0	1	0

								3				2
2)		0	0	1		, A		3	2A			2	A 2E3	O.
2)	A	0	0	1		, A			2A				A 2E3	O.

		2	1	2
		2	1	2

1.26. Знайдіть всі матриці, переставні з матрицею:

		1	1				3	5
		1	1				3	5
1)	A			;	2)	A
1)	A		1	;	2)	A		2	.
	0		1			1		2

1.27. Розв’яжіть матричне рівняння:

													1			T							8
							T						1			0							8		0
		1)					T
		1)		3A						2															;
												0				2						3			1

															1 0		T												1
							T								1 0														1		1
		2)					T													4A
		2)		2A				5												4A						9						.
											1 2																		1 0

Відповіді
1.4. Матриця A розміром 3 2.																		a21				c,a32				f . d a22.
1.5. 1) 2											7							( 6							8 1),
1.5. 1) 2				3,a1 (4							7					5),a2		( 6							8 1),
		4						7
		4						7								5								1,a				не існує;
a			,a			2				,a				3				,a			23			1,a			32	не існує;
1						2								3							23						32
	6							8								1

2) 2							( 6					1
2) 2		4,a1					( 6		4			1				0),a2 ( 9									0	1 2 2),
																													1
	6						4									1							0						1
a			,a					,a									,a								,a					,a		не існує;
a			,a					,a									,a								,a				2	,a		не існує;
1	9				2		0				3					1 2			4				2						2		32
1					2						3								4						23						32

3) 3							1 2																									8 9),
3) 3		3,a1					1 2					3 ,a2 ( 4											5		6),a3 (7							8 9),
		1						2
		1						2								3


								5																6,a					8;
a 4			,a			2		5		,a				3		6		,a			23			6,a			32		8;
1						2								3							23						32

	7							8								9

4) 3							( 1								(3
4) 3		2,a1					( 1		0),a2						(3		4),a3 ( 7										5),
		1						0
		1						0


a								4							не існує, a										5.
a	3		,a			2		4	,a			23			не існує, a									32	5.
1						2						23												32

	7							5

1. Матриці	73
1.6. A — квадратна матриця порядку 2, головна діагональ: 3, 0, побічна діагональ: 2, 4; C
— квадратна матриця порядку 3, головна діагональ: c11,c22,c33,	побічна діагональ:

c13,a22,a31.

1.7.Матриці A,C — верхні трикутні; матриці A, B — нижні трикутні; матриця A — діагональна.

1.8.Матриця C — одинична матриця 2-го порядку; матриці A та B — не є одиничними.

		1	0	0	0
		1	0	0	0


		0	1	0	0
		0	1	0	0
E4
E4		0	0	1	0	.
		0	0	1	0


			0	0	1
	0		0	0	1

1.9. A — діагональна матриця; B — верхня трикутна матриця; C — одинична матриця 3-го порядку; D — квадратна матриця; F — матриця-стовпець; G — матриця-рядок.

1.10. 1) x 3, y 5; 2) x 3, y 5; 3) x 1, y 1;

4) x 1, y 5; 5) x 1,y 3, z 4;

6) x 2,y 9, z 0.

1.11.Матриці розмірами 2 3 та 3 1 додавати не можна. Від матриці можна відняти таку саму матрицю, дістанемо нульову матрицю.

1.12.Добуток AB означено для узгоджених матриць [1.4.1]. Рядок 1 n можна помножити на стовпець n 1 [1.4.2]. Елементи матриці AB обчислюють за правилом «рядок на стов-

пець» [1.4.3].

1.13.Ні, не можна — матриці неузгоджені. Коли матриця A розміром m n, а матриця B

— розміром n m. Добуток AA існує для квадратних матриць.

1.14.Ні, не правдива — множення матриць некомутатитивне. Рівність AB O можлива і для ненульових матриць A та B.

1.15.Існують добутки: AC, BA.

1.16. 1) 2 3; 2) 3 4; 3) 4 3; 4) 2 2; 5) 9 1; 6) 7 6; 7) 2 3; 8) 5 4.

1.17.Матриця AT має розміри n m. На перетині j -го рядка та i -го стовпця.

1.18.Для кожної матриці існує транспонована. Самій матриці A. Матриці A та AT можуть

збігатись (симетричні матриці).
							0
1.19. 1)							0							2
1.19. 1)		a		a	2			,a		a		2		,a	2	a
			1		2				1			2			2	1
							2							2

					1
					1
2a	3a		2			, a			a		2				;
1			2		4			1			2		2
					4								2

2 ,2

2) b1 b2 1			4 ,b1 b2 3		2 ,b2 b1 3				2 ,
3b2 2b1 8			7 , b1 b2 2 3 ;
		0			2			5	1
	2	0		0	2			5	1
3)	A B						3B
3)	A B		, A B			, 2A	3B			,
	0	3		4	3		2		9

			1
	1		1
A C не існує, A E2				;
A C не існує, A E2		2		;
		2

74	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

		4	1									3							2		3
		4	1						2			3							2		3


			0									0									0
4) C D 5			0	,C D 3								0	, D C 3								0	,


	9		6								1 8						1				8

														1
									1					1
D B не існує, B E2
D B не існує, B E2											2				;
											2			3

		5	0	0										4	0
		5	0	0								7		4	0


			7 7											13 17
5) L M 3			7 7		, 3L M							5		13 17		,

			6											10
	4		6	2								0		10	10

										3				1			0
										3				1			0


L C не існує, L E											2			5			6			;
L C не існує, L E							3				2			5			6			;
							3
											1			4
											1			4		3

		1		2 0											1		0
		1		2 0								12			1		0


				3 5										7 16 15
6) L M 1				3 5		, 2L		3M						7 16 15				,


	2			2 4								11			14 3

											2			1					0
											2			1					0


M D не існує, M E												1		2					1
M D не існує, M E								3				1		2					1		;
								3
												3			2
												3			2		1

								1
						1		1						1							1	1	;
7) a	a 1,a		a							, Aa					,a A						1	1	;
1	1	1		1		2						1					1
						2		2							2

					1
					1
8) b	b	1,b	b
1	1	1	1	2

1			1
1			1			1 4	;
	, Bb			,b B		1 4	;
2		1	8		1
2			8

				2							T					3	7
	3 2			2		1		1			T					3	7
9) AB																		;
9) AB		, A							, A B									;
	2 2					2		2							1		1

		1			2			4								0
	3	1			2	1		4				T				0	5
10) BA
10) BA			, B						, AB								;
	4 2					8		7							2		4

T T		3	4			T				3		2
T T		3	4			T				3		2
11) A B
11) A B				,(AB)										;
	1		2					2				2

T T		3	2			T			3			4
T T		3	2			T			3			4
12) B A
12) B A				,(BA)										;
	2		2					1				2

							5	1
							5	1

												T
								4				T	A не існує;
13) AC не існує,CA 4								4		,C			A не існує;


						19		5

													1. Матриці				75
							5	0
							5	0

												T
								1				T
14) BD не існує, DB 1								1	, D B не існує;


						6		1

			4	19
		5	4	19
												42
	T						T					42	37	2
15) CC	T		16	20			T							2	,CD		не існує;
15) CC		4	16	20		,C C							,C		,CD		не існує;
										37			53
			20
		19	20	74

			3	13
		10	3	13
											26
	T					T					26		7	2
	T		1	4		T								2		, DC	не існує;
16) DD		3	1	4	, D D								, D			, DC	не існує;
										7			2
			4
		13	4	17

			7			7	1	1
			7			7	1	1


17) c L	не існує, Lc		52				20	1
17) c L	не існує, Lc		52	, LM	27		20	1	,
1	1
							13	1
		32			15		13	1

		11	8	6			7	6
		11	8	6			7	6

2
2			51	48				46
L	22		51	48	,CL	не існує, LC 52		46	;

			33	33				23
	14		33	33		32		23

			5			4	3	6
			5			4	3	6


18) d M не існує, Md							15	15
18) d M не існує, Md		9		, ML 8			15	15	,
1	1
							9	9
		7			12		9	9

			3 4		1								2
			3 4		1							5	2

	2
M	2			5	1								2			;
M		7		5	1	, DM не існує, MD						9	2			;


		5 1			3							7	2

											19	7
											19	7


19) c Lc ,CLA, ACL не існує, LCA												52
19) c Lc ,CLA, ACL не існує, LCA										144		52		;
		1	1
											78
											78	32

												9	1
												9	1


														3
20) d Md , DMB, BDM не існує, MDB 13														3	.
		1	1

											11			1

																	2	1
			6	4			2 5	1 5			3 2						2	1
1.20. 1)						2)			X
1.20. 1)					;	2)		; 3)	X				,Y						;
			2	6			1 5	2 5			1 3					1		2

					1 5
			2 5		1 5			3 5	1 5
4) X
4) X							,Y				.
			3 5		2 5			2 5	3 5

					468		156
1.21. 1)			52		468		156	312			24

					171		57	; 2)			.
			19		171		57	114			58

76	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

		0	2				3 2				1
1.22. 1)		0	2		2)		3 2				1
				;
				;									.
	2		0			1 2					6

		1	2									1		na					n	n	n 1
		1	2									1		na						n
				;	2)	O		;	3)
1.23. 1)				;	2)	O		;	3)								; 4)					n	.
	0					3 3					0											n
	0		1								0				1		0

														1			1 8								6			3
					8		2							1			1 8						6		6			3
					8		2
1.24. 1)	O										3)						25	1						11				1
1.24. 1)	O		; 2)							;	3)		13				25	1		; 4)			3	11				1	.
		2 2			1		10
					1		10
																	29 4								6
													16				29 4						6		6			11

	a		b							a b					5a										2		0			2		7
	a		b							a b					5a										2		0			2		7

1.26. 1)			,a,b ; 2)														,a,b . 1.27. 1)											;	2)		9		.
										a														1							9
	0 a									a						b								1		1
																															2	5
																															2

2. Визначники

Навчальні задачі
						3 1			2
						3 1			2


					3			1	6
2.1. Для матриці A					3			1	6	знайти доповняльний мінор та алгебрич-

						7		0
						7		0	4

не доповнення елемента a12.
Розв’язання. [1.6.3, 1.6.4.]


		3	1 2				3	6
		3	1 2

M12	3		1	6					( 3) 4 6 7 12 42 54;
	7		0	4			7	4
	7		0	4
	викреслюємо
	викреслюємо
	1-й рядок і 2-й
	стовпець
								
							A ( 1)1 2M				12	54.
						12					12

Коментар. Щоб одержати мінор M12 елемента a12, треба з матриці A ви-

креслити 1-й рядок і 2-й стовпець.

Визначник одержаної матриці і буде мінором M12.

 Aij ( 1)i j Mij .

														2. Визначники														77
												1			3		1
												1			3		1


2.2.			Задано матрицю A												2		0
2.2.			Задано матрицю A							1					2		0		.

												1			5
												1			5			3

2.2.1.			Обчислити визначник detA за означенням.
Розв’язання. [1.6.1.]
			3	1			1 1		2 0											1 2		1	0			1 3	1 2		
		1
		1

		1 2		0		1 ( 1)			5 3								3 ( 1)					1	3		1 ( 1)		1 5
		1	5 3
		1	5 3			1 ( 6) 3 3 1 ( 7)																	22.
						1 ( 6) 3 3 1 ( 7)																	22.
							обчислюємовизначники 2- гопорядку
						0
Коментар. 					2	0	2	( 3) 0									5 6;
Коментар. 					5	3	2	( 3) 0									5 6;
	1		0													1 2
				( 1) ( 3) 0				1				3;								( 1) 5 2 1 7.

	1 3																1 5

2.2.2.			Обчислити визначник detA за схемою Саррюса (трикутників).
Розв’язання. [1.7.4.]
								3		1			1				3			або	1		3	1
							1
							1
							1	2		0			1				2
							1	5 3					1				5				1		2	0
																					1		5	3
																					1		5	3

						det A (1 2 ( 3) 3 0 1 1 ( 1) 5)
						(1 2 1 1 0 5 3 ( 1) ( 3))
										11 11 22.

											i				j		k
2.3.1.			Обчислити визначник							2			1				3 , розкладаючи його за 1-м рядком.

7 4 0

Розв’язання. [1.7.6.]

i ( 1)1 1


	j	k
1 3			a11A11 a12A12 a13A13
4		0
1		3			2	3
				1 2				1 3
				1 2				1 3
4		0	j ( 1)		7	0	k ( 1)

12i 21j 15k .

2 1

7 4

78	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

				1		a	2
2.3.2 Обчислити визначник				3		b	6	, розкладаючи його за 2-м стовпцем.
				7		c	4
Розв’язання. [1.7.7.]
Розв’язання. [1.7.7.]
	1 a 2
	1 a 2
	3 b 6				a12A12 a22A22 a23A23
	7	c 4
			6						1 2		1 2
							2 2			3 2
1 2		3					2 2			3 2
a( 1)		7	4		b( 1)				7 4	c( 1)	3 6

54a 10b 12c.

2.4.Користуючись властивостями, довести, що

4 2	4	2
2 3	2	3	0.
	1 1

Розв’язання. [1.8.2, 1.8.3, 1.8.5.]
	4 2 4	2	[1.8.2]		4 4	2		2 4	2	[1.8.3]
			[1.8.2]							[1.8.3]
	2 3 2	3			2 2	3		3 2	3
	1 1				1 1			1 1

	Визначник дорівнює сумі			Виносимо спільний			Виносимо спільний
двох визначників,				множник			множник
оскільки1-й стовпець				1-го стовпця			1-го стовпця
є сумою двох стовпців

	4	4	2			2	4	2	[1.8.5]
									[1.8.5]
	2	2 3				3	2 3		0 0 0.
	1	1 1				1	1 1
	Визначник має
	Визначник має				Визначник має
два рівні стовпці					два рівні стовпці
					0		1	0
				1	0		1	0
2.5. Обчислити визначник				3	3	5		1	зведенням до трикутного вигляду.
2.5. Обчислити визначник				2	4		1	1	зведенням до трикутного вигляду.
				2	4		1	1
				2	2		0	1

Розв’язання. [1.9.2–1.9.4.]

2. Визначники

1 0 1 0

3 3 5 12 4 1 1 2 2 0 1

Множимо1-й рядок на відповідні коефіцієнти і віднімаємойого від решти рядків


a2	a2

a3	a3

a4	a4

			1	0	1	0
												
3a1			0 3		8 1					4
2a			0	4	3 1			a3	a3	3	a2
1					2 1					3
2a1			0	2	2 1					2
			Множимо 2-й рядок				на	a4	a4	3 a2
			Множимо 2-й рядок				на	a4	a4	3 a2
		відповідні коефіцієнти
		і віднімаємо йоговід
		3- гота 4 -го рядків

	1	0	1	0								1	0	1	0
	0	3	8	1								0	3	8	1		[1.9.3]
	0	0	41		1							0	0	41		1
	0	0	3		3							0	0	3		3
			3		3				10					3		3
			10	5					10					0 65
	0	0	10	5			a4	a4	41	a3		0 0		0 65
			3		3				41						41
			3		3										41
	Множимо 3-й рядок					на
відповідний коефіцієнт
і віднімаємо йоговід
4- го рядка

	41	65	
1 3	41	65	65.
1 3			65.
	3	41
	3	41

Коментар. Формуємо 1-й стовпець — додаванням до решти рядків 1-го рядка з відповідними коефіцієнтами, досягаємо нулів під елементом a11 (якщо 1-й

стовпець нульовий, то і визначник дорівнює нулеві; якщо ж ні, переставленням рядків завжди можна досягнути, щоб 1-й елемент 1-го стовпця був ненульовий (зручніше за все — одиниця)).

Додаємо до 2-го рядка 1-й рядок, помножений на ( 3), і записуємо результат у 2-й рядок.

Додаємо до 3-го рядка 1-й рядок, помножений на 2 і записуємо результат у 3-й рядок.

Додаємо до 4-го рядка 1-й рядок, помножений на ( 2), і записуємо результат у 4-й рядок.

Перший стовпець трикутної матриці сформований.

Формуємо 2-й стовпець (1-й рядок не бере участь у перетвореннях).

		4
		4
Додаємо до 3-го рядка 2-й рядок, помножений на			, і записуємо результат
		3
		3
у 3-й рядок.
	2
	2
Додаємо до 4-го рядка 2-й рядок, помножений на		, і записуємо результат у
	3
	3

4-й рядок.

Формуємо 3-й стовпець (1-й і 2-й рядки не беруть участь у перетвореннях).

80	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

	10
	10
Додаємо до 4-го рядка 3-й рядок, помножений на		, і записуємо результат

	41

у4-й рядок.

Визначник матриці з цілими елементами є цілим числом (хоча під час обчис-

лення можуть виникати дроби).

2.6. Знайти		методом приєднаної матриці обернену матрицю до матриці
	2	3	1


	4	5	2
A				.

		7	3
5

Розв’язання. [1.10.5.]
[Крок 1. Обчислюємо визначник матриці A. ]
	2	3	1
detA	4	5	2	1 0.
	5	7	3

Існує обернена до матриці A.
[Крок 2. Знаходимо алгебричні доповнення A елементів a												матриці.]
										ij	ij
A		5	2		1,A	4			2	2,A		4	5	3,
A		5	2		1,A	4			2	2,A		4	5	3,
11	7		3	12		5			3		13	5	7
A		3	1		2, A		2		1	1,	A	2	3	1,
A		3	1		2, A		2		1	1,	A	2	3	1,
21		7	3		22		5		3		23	5	7
A		3 1			1,A			2 1		0, A		2	3	2.
A		3 1			1,A			2 1		0, A		2	3	2.
31		5 2			32			4 2			33	4	5

[Крок 3. Складаємо приєднану матрицю.]

								1		2	3	T			1	2 1
								1		2	3				1	2 1

					A				2	1	1				2	1	0
					A				2	1	1				2	1	0	.

										0						1
							1			0	2			3		1	2

[Крок 4. Знаходимо обернену матрицю A 1.]
			1	2	1				1	2	1
	1		1	2	1				1	2	1
	1
1
A		2		1		0			2	1		0	.

	1			1		2				1
		3		1		2		3		1		2

[Крок 5. Перевіряємо правильність обчислень.] 
			1 2		1			2	3 1				1 0 0
			1 2		1			2	3 1				1 0 0
1
1			2 1		0			4	5 2				0 1 0
A A			2 1		0			4	5 2				0 1 0			.

				1 2					7 3
		3		1 2			5		7 3				0 0 1

Коментар. Якщо det A 0, то для матриці A не існує оберненої. Якщо det A 0, то обернена матриця існує.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20251.05 Mб0pr3_cz_chorna_a._uz-81m_fmm.doc
#
01.04.202568.45 Кб0PR4_Zoshit_Zadacha_6_shum.docx
#
10.11.2018687.1 Кб8praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб64Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб27PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб53PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
01.04.2025274.43 Кб0Praktykum_2kurs_Komp_edition_and_publish_proces...doc
#
19.11.2018693.25 Кб15Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
01.05.2025346.62 Кб0Prakt_pidg.doc