PraktykumLA+AG
.pdfНаціональний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»
І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова
ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
ПРАКТИКУМ
Київ — 2011
Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Практикум. (І курс І семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К: НТУУ «КПІ», 2011. — 184 с.
Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ» (протокол № 5 від 22.01.2009)
Навчальне видання
Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Практикум
для студентів І курсу технічних спеціальностей
Укладачі: |
Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц. |
|
Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц. |
|
Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц. |
|
Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц. |
Відповідальний |
В. В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, професор |
редактор |
|
Рецензенти: |
С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц. |
|
В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц. |
|
Зміст |
|
Теоретична частина |
|
|
Вступ ........................................................................................................................ |
4 |
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.............................................................................. |
5 |
|
Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ....................................................................... |
24 |
|
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ............................................................. |
42 |
|
Практична частина |
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
1. |
Матриці........................................................................................................... |
63 |
2. |
Визначники ..................................................................................................... |
76 |
3. |
Ранг матриці ................................................................................................... |
87 |
4. |
Системи лінійних алгебричних рівнянь........................................................ |
92 |
Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА |
|
|
5. |
Вектори ......................................................................................................... |
105 |
6. |
Скалярне множення векторів....................................................................... |
115 |
7. |
Векторне множення векторів....................................................................... |
123 |
8. |
Комплексні числа ......................................................................................... |
130 |
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ |
|
|
9. |
Геометрія прямої і площини ........................................................................ |
141 |
10. Задачі на прямі й площини ........................................................................ |
150 |
|
11. Пряма на площині ...................................................................................... |
169 |
|
12. Криві 2-го порядку ..................................................................................... |
174 |
|
13. Поверхні 2-го порядку ............................................................................... |
179 |
|
Список використаної і рекомендованої літератури...................................... |
183 |
|
Вступ
Практикум з вищої математики «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» є складовою навчального комплекту з вищої математики, який містить: конспект лекцій, практикум, збірник індивідуальних домашніх завдань, збірник контрольних та тестових завдань.
Практикум складено на основі багаторічного досвіду викладання математики в НТУУ «КПІ», його зміст відповідає навчальним програмам з вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної форм навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:
—матриці та визначники;
—системи лінійних алгебричних рівнянь;
—векторна алгебра;
—комплексні числа;
—геометрія прямої і площини;
—криві 2-го порядку;
—поверхні 2-го порядку.
Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, якого потребує свідоме розв’язування задач, широкий спектр розв’язаних навчальних задач, які достатньо розкривають відповідні теоретичні питання, сприяють розвиткові практичних навичок і є зразком належного оформлення розв’язань задач для самостійної роботи, задачі для самостійної роботи в аудиторії та домашнього завдання з відповідями.
Метою практикуму є:
допомогти в опануванні студентами основ математичного апарату лінійної алгебри та аналітичної геометрії;
розвинути логічне та аналітичне мислення;
виробити навички вибору ефективного методу розв’язання задач. Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислення,
передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом, використанням конспекту лекцій, посібників та підручників. Деякі з них подано у списку рекомендованої літератури.
У практичній частині використано такі позначення:
[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій вміщено теоретичний факт або формулу, таблиці A.B. з теми А;
,,,... — посилання у навчальній задачі на коментар, який вміщено після її розв’язання.
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.1. Матриці
|
Матриця. Матрицею A розміром |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-й рядок : ai |
|
||||||||||||||||||||
|
m n називають прямокутну таблицю |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
дійсних чисел (елементів матриці) |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
1j |
|
|
|
1n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
ij |
,i 1,m, j 1,n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ai1 |
|
|
|
aij |
|
ain |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
розташованих у m рядках та n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
стовпцях і позначають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mj |
|
|
|
mn |
|
|
|||||
|
|
Am n (aij )m n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j-й стовпець : aj |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Матриця-рядок |
|
|
|
|
|
|
Матриця-стовпець |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
a1 a2 |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нульова матриця |
|
|
|
|
|
|
Квадратна матриця n -го порядку |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|||||||
|
|
|
|
m рядків |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Om n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An An n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|||
|
|
|
|
n стовпців |
|
|
|
|
побічна діагональ |
головна діагональ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Нижня трикутна матриця |
Верхня трикутна матриця |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
0 0 |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a22 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
a2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
0 |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Елемент aij матриці A розташований в i -му рядку і j -му стовпці.
|
6 |
|
|
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Діагональна матриця |
|
|
Одинична |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
матриця |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|||||
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
a |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
En |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Матриця є стовпцем своїх рядків і |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
рядком своїх стовпців. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Am n |
|
|
|
|
|
(a1 a2 ... |
an ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Лінійні дії над стовпцями (рядками)
Рівність стовпців. Два стовпці x та |
|
x1 |
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y називають рівними, якщо вони мають: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k, |
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) однакову висоту; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
,i 1,m |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) рівні відповідні елементи. |
x |
|
|
|
|
|
y |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Додавання (віднімання) стовпців. |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
1 |
y |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сумою (різницею) двох стовпців x та y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
заввишки m називають стовпець x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
заввишки m, кожен елемент якого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
m |
|
|
|
|||||||||
дорівнює сумі (різниці) відповідних |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
елементів стовпців x та y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi )m (yi )m (xi yi )m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Множення стовпця на число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Добутком стовпця x заввишки m на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дійсне число називають стовпець |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x заввишки m, кожен елемент якого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
дорівнює відповідному елементу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стовпця x, помноженому на це число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi )m ( xi )m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
7 |
1.3. Лінійні дії над матрицями
Рівність матриць. Дві матриці A |
|
|
|
|
Am n |
Bk l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
та B називають рівними, якщо вони: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
m k,n l; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) однакового розміру; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b ,i 1,m, j 1,n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) мають рівні відповідні елементи. |
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Додавання (віднімання) матриць. |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
a |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумою матриць A та B однакового |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
розміру називають матрицю A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
того самого розміру, елементи якої |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
дорівнюють сумі відповідних |
|
|
a |
m1 |
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
елементів матриць A та B. |
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b22 |
|
b2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Різницею матриць A та B однакового |
|
|
|
b21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
розміру називають матрицю A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
того самого розміру, елементи якої |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m1 |
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
дорівнюють різниці відповідних |
|
a |
b |
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
a |
b |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
1n |
|
||||
елементів матриць A та B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
b21 |
|
|
a22 b22 |
|
a2n |
b2n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij |
|
bij |
|
|
aij |
bij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
m n |
m n |
m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
a |
|
|
|
b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
m2 |
|
mn |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Множення матриці на число. |
|
|
a11 |
|
|
a12 |
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Добутком матриці A на число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
a2n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
називають матрицю A, |
елементи якої |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дорівнюють добутку елементів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
матриці A на число . |
|
|
|
|
|
a |
m1 |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
a12 |
a1n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ij |
m n |
ij |
m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
a22 |
a2n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
m2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Властивості додавання матриць. |
Властивості множення матриці |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A B B A; |
|
|
|
|
|
на число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 A A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A (B C ) (A B) C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
( ) A A A; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
A Om n |
A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A ( A) Om n |
|
|
|
|
|
(A B) A B; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( A) ( ) A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.4. Множення матриць
Узгоджені матриці. Матрицю A називають узгодженою з матрицею B, якщо кількість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B («довжина» матриці A дорівнює «висоті» матриці B).
Добуток рядка на стовпець. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добутком рядка x (x |
) завдовжки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
j |
n |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n на стовпець y (yi )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
заввишки n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
називають число x y, яке дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сумі добутків елементів рядка на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x1y1 x2y2 |
... xnyn |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
відповідні елементи стовпця. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множення матриць. Добутком |
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
матриці A |
на матрицю B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
m l |
|
|
l n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
називають матрицю C AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bj |
|
bn |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ai |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
розміром m n, кожний елемент c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|||||||
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
якої дорівнює добуткові i -го рядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
матриці A на j -й стовпець матриці B. |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
a |
|
b |
|
|
|
a |
|
b |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(ai )m (bj )n (cij )m n (ai bj )m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Матриці множать за правилом «рядок |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|||||||||||||||||
a |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
i |
|
n |
|
||
на стовпець». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
m |
|
a |
m |
j |
|
a |
m |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема Фалька множення матриць |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l
m |
A |
AB |
Особливості множення матриць. |
Властивості множення матриць. |
||||||||||||||||||||
множення матриць не комутативне; |
A (B C ) (A B) C; |
|
|||||||||||||||||||
добуток ненульових матриць може |
C (A B) C A C B, |
||||||||||||||||||||
бути нульовою матрицею. |
|
|
(A B) C A C B C; |
||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
(A B) ( A) B A ( B); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
A |
|
E |
|
E |
|
A |
A; |
||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
n |
m |
|||||||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
m n |
|
|
|
|
m n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
O |
|
|
O |
|
, |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
n l |
m l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
m n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
O |
A |
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l m |
m n |
|
l n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Переставні матриці. Якщо |
Одинична матриця En та нульова |
|
|
|
||||||||
|
матриці A та B справджують |
матриця On |
порядку n переставні з |
|
|||||||||
|
співвідношення AB BA, то їх |
|
|||||||||||
|
називають переставними. |
|
будь-якою квадратною матрицею того |
|
|||||||||
|
|
ж порядку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
AEn EnA A |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
OnA AOn |
On |
|
|
|
|
|
|||
|
Натуральний степінь k |
Матричний многочлен. Якщо |
|
|
|
||||||||
|
квадратної матриці A розуміють як* |
f(x) akx |
k |
... a1x a0, то |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ak AA...A; A0 |
def |
многочленом f (A) від матриці A |
|
|
|
|||||||
|
E . |
називають матрицю |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n n |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
k разів |
|
|
|
|
|
Ak ... a A a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (A) a |
E |
n |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1.5. Транспонування матриць
|
Транспонування матриці. Заміну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
| |
|
||||
|
рядків матриці на її стовпці, а стовпців |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
— на рядки, називають |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
a |
2 |
|
|
n |
|
|||||||||||
|
a |
|
|
a |
|
||||||||||||||
|
транспонуванням матриці. |
|
|
| |
|
|
|
| |
|
||||||||||
|
| |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Матрицю, розміром n m, яку |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
одержують з матриці A розміром |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m n транспонуванням стовпців |
|
|
|
|
|
(a |
2 |
) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рядків), називають транспонованою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||
|
матрицею до A і позначають A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
aT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
a |
ji |
,i 1,m, j 1,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Властивості транспонування |
Симетрична і кососиметрична |
|||||||||||||||||
|
матриць. |
|
|
|
|
|
|
матриця. Матрицю A називають |
|||||||||||
|
(AT )T |
A |
|
|
|
|
|
|
симетричною, якщо |
|
|
|
|
|
|||||
|
(A B)T AT BT |
|
|
AT A, |
|
|
|
||||||||||||
|
( A)T |
AT |
і кососиметричною, якщо |
||||||||||||||||
|
(AB)T BTAT |
|
|
AT A. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добуток будь-якої матриці на |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
транспоновану до неї матрицю є |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симетричною матрицею. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Матрицю A можна помножити саму на себе тоді й лише тоді, коли вона квадратна.
10 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.6. Індуктивне означення визначника
Визначник матриці. Визначником |
Обчислення визначника 3-го |
|||||||||||||||||||||||
(детермінантом) квадратної матриці |
порядку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A називають число |
A |
detA, яке |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|||||
обчислюють за правилом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
При n 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
a3121 |
a3222 |
|
a2333 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a11 1 2 M11 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a11 |
|
a11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a12 1 3 M12 a13 1 4 M13 |
||||||||||||||||||
При n 1: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
detA ( 1)1 k a1kM1k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
a |
|
|
a22 |
a23 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
k 1 |
M |
|
11 |
|
|
12 |
13 |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
a |
|
|
a |
a |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
21 |
|
22 |
23 |
|
|
a32 |
a33 |
|
||||
де M |
|
— визначник матриці порядку |
|
|
|
|
a31 |
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(n 1), яку одержано з матриці A |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a21 |
a23 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
M |
|
|
|
a11 |
|
|
a12 |
a13 |
|
|
; |
|||||||||||||
викреслюванням 1-го рядка та k -го |
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
21 |
|
22 |
23 |
|
|
a31 |
a33 |
|
||||||||||||||
|
|
|
a31 |
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
||||||||||||||
стовпця . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
a21 |
a22 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
21 |
22 |
|
23 |
|
|
a31 |
a32 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доповняльний мінор. Визначник |
Алгебричне доповнення. Число |
|||||||||||||||||||||||
матриці, одержаної викреслюванням з |
|
|
|
|
|
|
Aij ( 1)i j Mij |
|
|
|||||||||||||||
матриці A i -го рядка та j -го стовпця |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
називають доповняльним мінором Mij |
називають алгебричним доповненням |
|||||||||||||||||||||||
елемента a . |
елемента aij . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначник для неквадратних матриць не означують.
Визначник матриці порядку n означують через визначники матриць порядку (n 1). Визначник матриці порядку n є числом, що дорівнює сумі добутків з n елементів матриці, узятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця матриці з певним знаком.