Ряд Фур’є
.pdfЛекція 11. Розвинення функцій у тригонометричний ряд Фур’є
Короткий зміст Розділ 11.1. Розвинення функцій в ряд
Фур’є 11.1.1. Розвинення в ряд Фур’є парних
та непарних функцій 11.1.2. Ряд Фур’є для неперіодичної
функції Розділ 11.2. Комплексна форма ряду
Фур’є
Короткий зміст
У лекції:
—наведено методи розвинення періодичних функцій в ряд Фур’є;
—розглянуто розвинення неперіодичних функцій в ряд Фур’є;
—виведено комплексну форму ряду Фур’є.
11.1. Розвинення функцій в ряд Фур’є
11.1.1. Розвинення в ряд Фур’є парних та непарних функцій
Нехай f(x) — 2l - періодична парна функція (її графік симетричний
відносно осі Oy). Тоді функції |
f(x)sin |
n |
x, n , |
є непарними функціями, а |
||
|
||||||
всі коефіцієнти |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
n |
|
|
||
bn l |
f(x)sin |
l |
xdx,n , |
|||
|
l |
|
|
|
|
дорівнюють нулеві. Отже, ряд Фур’є для парної функції має вигляд:
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f x |
|
0 |
an cos l |
x, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a0 |
f(x)dx, |
|
|
|
|
|
|
|
(11.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
an l |
f(x)cos |
|
l xdx,n |
. |
|
|
|
(11.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розвинення парної 2l - періодичної функції в ряд Фур’є |
||||||||||||||||
Висновок. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
відбувається тільки за косинусами. |
|
|||||||||||||||
Припустимо, що |
|
на відрізку |
l;l |
функція |
f(x) непарна |
(її графік |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симетричний щодо |
точки O(0;0)). |
Тоді функції |
|
f(x)cos |
n |
x, n , є |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
непарними функціями і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а |
|
|
|
|
an 0,n 0,1,2,..., |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
bn l |
f(x)sin |
|
l xdx,n |
, |
|
(11.3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinn x. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f x bn |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Розвинення |
непарної 2l - періодичної функції в ряд |
|||||||||||||||
Висновок. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Фур’є відбувається тільки за синусами. |
|
Зауваження 11.1.
Приклад 11.1.
Графік функції
Якщо графік функції f(x) симетричний щодо точки
C(0;c), тоді
|
a0 |
|
1 |
l |
|
n |
|
|
|
|
c,an |
0,bn l |
f(x)sin |
l |
xdx,n . |
||
|
2 |
|||||||
Отже |
|
|
|
l |
|
|
|
|
, ряд Фур’є має вигляд |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinn x. |
|
||
|
|
|
f x c bn |
|
||||
|
|
|
|
n 1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо розвинення в ряд Фур’є 2 -періодичної функції f(x):
|
|
|
|
1, x 0, |
|
|
|
|
f(x) |
1, 0 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) на відрізку ; |
зображено на рис. 11.1. |
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
1 |
Рис. 11.1
Функція f(x) на інтервалі ; : має розрив першого роду в точці x 0
(тобто кусково-неперервна), не має екстремумів (тобто кусково-монотонна), обмежена. Отже, вона справджує умови теореми Діріхле і її можна розвинути в ряд Фур’є.
Графік функції симетричний щодо початку координат, отже, ряд Фур’є має вигляд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) bn sinnx. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислимо коефіцієнти bn за формулою (11.3) l : |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
cosn 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
bn |
1 sinnxdx |
|
cosnx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або, враховуючи , що cosn 1 n : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2k, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
|
1 1 |
|
|
,n 2k |
1,n . |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, сума ряду Фур’є:
|
|
|
|
4 |
|
sin 2n 1 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
S(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S(0) |
f(0 0) f(0 0) |
|
1 ( 1) |
|
0, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
S( ) S( ) |
f( 0) f( 0) |
|
( 1) 1 |
|
0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
;0 |
|
0; |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
f(x),x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
S(x) |
x |
0, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 . |
|
|||||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графік суми ряду Фур’є функції зображений на рис. 11.2 (T 2 ). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
S(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 11.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11.1.2. Ряд Фур’є для неперіодичної функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Нехай y f(x)— неперіодична |
функція, |
|
яка |
|
задана |
на |
всій дійсній осі |
x . Таку функцію не можна розвинути в ряд Фур’є, оскільки сума ряду Фур’є є періодичною функцією, а тому не може дорівнювати f(x) x .
Але неперіодичну функцію можна розвинути в ряд Фур’є на довільному скінченному проміжку a;b , на якому функція задовольняє умови теореми
Діріхле. Для цього помістимо початок координат в середину відрізка a;b і
розглянемо періодичне продовження функції f(x),x a;b , на всю числову вісь з періодом T 2l b a , вважаючи F(x) f(x), F(x T) F(x).
Ряд Фур’є для періодичного продовження збігається до F(x), причому в
усіх точках неперервності функції f(x) |
з інтервалу a;b |
сума ряду дорівнює |
||||
f(x). |
|
|
||||
Зокрема, якщо f(x) визначена лише на інтервалі 0;l |
(початок координат |
|||||
перенесено в точку x a,l |
|
b a |
|
), |
то її можна доозначити на інтервалі |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
l;0 парним чином і періодично продовжити, покладаючи
|
x |
|
0;l |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
f(x), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x 2l) F(x), |
F(x) f( x), x l;0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|||
f(0), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або непарним чином, тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0;l |
|
, |
|
||
f(x), |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(a 2l) F(x). |
F(x) f( x), x l;0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|||
f(0), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графік F(x) на l;l буде відповідно симетричним відносно осі Oy або
початку координат (рис. 11.3 а, б):
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
O |
l |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
l |
O |
l |
|
|
|
|
|
а) |
Рис. 11.3 |
|
б) |
||
|
|
|
|
|
||
Знаходимо розвинення в |
ряд |
Фур’є |
|
допоміжної функції F(x) з |
||
періодом 2l . На інтервалі 0;l |
дістанемо розвинення функції f(x) в ряд Фур’є, |
|||||
що містить тільки косинуси або тільки синуси. |
|
|
0;l , в ряд Фур’є за |
|||
Приклад 11.2. |
Розвинемо функцію f(x) 1, x |
|||||
|
синусами. |
|
|
|
|
|
Графік функції f(x) на інтервалі 0;l зображено на рис. 11.4. |
||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
0 |
l |
|
|
|
|
|
Рис. 11.4 |
|
|
|
|
Непарним продовженням f(x) на інтервалі l;0 |
є функція |
|||||
|
|
|
0 x |
l, |
|
|
|
|
1, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) |
l x |
0. |
|
||
|
|
1, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовжимо її періодично з періодом T 2l на всю дійсну вісь. Функція кусково-неперервна, не має екстремумів, обмежена, отже, задовольняє умови теореми Діріхле.
Графік суми ряду Фур’є за синусами, тобто ряду Фур’є функції F(x), зображено на рис. 11.5.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обчислимо коефіцієнти Фур’є цієї функції: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
a0 an 0,n , |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
bn |
l |
1 sinn l xdx |
|
|
cosn l x |
|
0 |
|||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,n |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
( 1) 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,n 2k 1,k . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin 2n 1 x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(0) S( l) 0. |
|
|
|
||||||||||||||
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x),x 0;l , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x 0, l, |
|
|
|
|
|
T 2l. |
||||||||||
|
S(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x),x |
|
l;0 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
В загальному випадку функцію f(x), яка на проміжку |
||||||||||||||||||||||
Зауваження 11.2. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0;l |
|
задовольняє |
|
|
|
умови теореми Діріхле, можна |
||||||||||||||||
|
|
|
|
продовжити на проміжок l;0 за допомогою |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
довільної функції, яка не порушує умови теореми |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Діріхле. Отже, функцію, |
яка задана на проміжку 0;l , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
нескінченною кількістю способів можна розвинути в |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ряд Фур’є. Суми таких рядів Фур’є співпадають з |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
заданою функцією на проміжку 0;l . |
||||||||||||||||||||||
11.2. Комплексна форма ряду Фур’є |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Нехай 2 - періодична функція |
|
f(x), x ; , задовольняє умови теореми |
||||||||||||||||||||||||
Діріхле. Тоді на відрізку |
|
; для неї можна побудувати ряд Фур’є |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
an cosnx sinnx. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосовуючи формули Ейлера:
cos |
ei |
e i |
|
|
sin |
ei e i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|||||||||||||||||||
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
einx |
e inx |
|
|
|
|
einx |
e inx |
|
|
||||||||||||||||
f(x) |
|
|
an |
bn |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
a |
ib |
|
|
|
|
a ib |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
neinx |
|
n |
|
|
|
|
n |
e inx. |
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Запровадимо позначення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a0 |
|
c |
|
|
an ibn |
|
|
c , |
an ibn |
c |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f(x) c0 |
|
cneinx |
c ne inx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
c0 cneinx |
|
cneinx, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
cneinx. |
|
|
|
|
|
|
(11.4) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вираз (11.4) називають комплексною формою ряду Фур’є функції f(x) з |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексними коефіцієнтами Фур’є cn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Для коефіцієнтів cn справджуються співвідношення: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
n |
ib |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)(cosnxdx i sinnx)dx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)e inxdx,n . |
|
|
|
|
(11.5) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
2l , тоді комплексна |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Якщо функція f(x) задана на відрізку |
l;l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
форма ряду Фур’є набуває вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
cnei |
l x, |
|
|
|
|
|
|
|
(11.6) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де коефіцієнти cn обчислюються за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cn |
|
f(x)e i l |
xdx,n . |
|
|
|
|
(11.7) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функцію ei l |
|
x |
називають n-ою комплексною гармонікою, отже, ряд (11.2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
описує розвинення функції за комплексними гармоніками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Зауваження 11.3. |
|
|
Для |
дійсної |
|
функції |
|
f(x) коефіцієнти cn |
|
|
та c n є |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексно-спряженими числами c n |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
n |
|
|
|
|
|
|
a |
|
b i |
|
|
|
|
a2 |
|
b |
2 |
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отже, модулі коефіцієнтів комплексного ряду Фур’є є |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
амплітудами відповідних гармонік. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приклад 11.3. |
|
|
|
|
|
Знайдемо комплексну форму ряду Фур’є для функції |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) x ( x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
c |
|
|
xe |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
xe |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
in |
|
|
|
in |
|
1 |
|
|
in |
|
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
cosn |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
,n 0, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c0 |
|
|
xdx 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Фур’є набуває вигляду:
i |
1 |
n |
|
|
1 |
1 |
n |
|
1 |
n |
|
||
|
einx |
i |
einx |
i |
einx, |
||||||||
n 0 |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x i |
|
|
einx, x ; , |
S( ) 0. |
|
||||||||
|
n |
|
|||||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження 11.4. Знаючи комплексні коефіцієнти Фур’є cn , можна знайти відповідні дійсні коефіцієнти Фур’є an та bn за формулами
a20 c0, an 2Recn, bn 2Imcn.