Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Ряд Фур’є

.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
270.29 Кб
Скачать

Лекція 11. Розвинення функцій у тригонометричний ряд Фур’є

Короткий зміст Розділ 11.1. Розвинення функцій в ряд

Фур’є 11.1.1. Розвинення в ряд Фур’є парних

та непарних функцій 11.1.2. Ряд Фур’є для неперіодичної

функції Розділ 11.2. Комплексна форма ряду

Фур’є

Короткий зміст

У лекції:

наведено методи розвинення періодичних функцій в ряд Фур’є;

розглянуто розвинення неперіодичних функцій в ряд Фур’є;

виведено комплексну форму ряду Фур’є.

11.1. Розвинення функцій в ряд Фурє

11.1.1. Розвинення в ряд Фур’є парних та непарних функцій

Нехай f(x) 2l - періодична парна функція (її графік симетричний

відносно осі Oy). Тоді функції

f(x)sin

n

x, n ,

є непарними функціями, а

 

всі коефіцієнти

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

1

l

n

 

 

bn l

f(x)sin

l

xdx,n ,

 

l

 

 

 

 

дорівнюють нулеві. Отже, ряд Фур’є для парної функції має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

0

an cos l

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

f(x)dx,

 

 

 

 

 

 

 

(11.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

l

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an l

f(x)cos

 

l xdx,n

.

 

 

 

(11.2)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розвинення парної 2l - періодичної функції в ряд Фур’є

Висновок.

 

 

 

 

 

 

 

відбувається тільки за косинусами.

 

Припустимо, що

 

на відрізку

l;l

функція

f(x) непарна

(її графік

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

симетричний щодо

точки O(0;0)).

Тоді функції

 

f(x)cos

n

x, n , є

 

 

непарними функціями і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

an 0,n 0,1,2,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

l

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn l

f(x)sin

 

l xdx,n

,

 

(11.3)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinn x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розвинення

непарної 2l - періодичної функції в ряд

Висновок.

 

 

 

 

 

 

 

Фур’є відбувається тільки за синусами.

 

Зауваження 11.1.

Приклад 11.1.

Графік функції

Якщо графік функції f(x) симетричний щодо точки

C(0;c), тоді

 

a0

 

1

l

 

n

 

 

 

 

c,an

0,bn l

f(x)sin

l

xdx,n .

 

2

Отже

 

 

 

l

 

 

 

 

, ряд Фур’є має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinn x.

 

 

 

 

f x c bn

 

 

 

 

 

n 1

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо розвинення в ряд Фур’є 2 -періодичної функції f(x):

 

 

 

 

1, x 0,

 

 

 

f(x)

1, 0 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) на відрізку ;

зображено на рис. 11.1.

y

 

 

1

 

 

 

 

x

1

Рис. 11.1

Функція f(x) на інтервалі ; : має розрив першого роду в точці x 0

(тобто кусково-неперервна), не має екстремумів (тобто кусково-монотонна), обмежена. Отже, вона справджує умови теореми Діріхле і її можна розвинути в ряд Фур’є.

Графік функції симетричний щодо початку координат, отже, ряд Фур’є має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) bn sinnx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

Обчислимо коефіцієнти bn за формулою (11.3) l :

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

cosn 1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

1 sinnxdx

 

cosnx

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

n

 

 

0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або, враховуючи , що cosn 1 n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2k,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

n

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

1 1

 

 

,n 2k

1,n .

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, сума ряду Фур’є:

 

 

 

 

4

 

sin 2n 1 x

 

 

 

 

 

 

 

S(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

S(0)

f(0 0) f(0 0)

 

1 ( 1)

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

S( ) S( )

f( 0) f( 0)

 

( 1) 1

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Таким чином,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;0

 

0;

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x),x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(x)

x

0, ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T 2 .

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графік суми ряду Фур’є функції зображений на рис. 11.2 (T 2 ).

 

 

S(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.1.2. Ряд Фур’є для неперіодичної функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай y f(x)— неперіодична

функція,

 

яка

 

задана

на

всій дійсній осі

x . Таку функцію не можна розвинути в ряд Фур’є, оскільки сума ряду Фур’є є періодичною функцією, а тому не може дорівнювати f(x) x .

Але неперіодичну функцію можна розвинути в ряд Фур’є на довільному скінченному проміжку a;b , на якому функція задовольняє умови теореми

Діріхле. Для цього помістимо початок координат в середину відрізка a;b і

розглянемо періодичне продовження функції f(x),x a;b , на всю числову вісь з періодом T 2l b a , вважаючи F(x) f(x), F(x T) F(x).

Ряд Фур’є для періодичного продовження збігається до F(x), причому в

усіх точках неперервності функції f(x)

з інтервалу a;b

сума ряду дорівнює

f(x).

 

 

Зокрема, якщо f(x) визначена лише на інтервалі 0;l

(початок координат

перенесено в точку x a,l

 

b a

 

),

то її можна доозначити на інтервалі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l;0 парним чином і періодично продовжити, покладаючи

 

x

 

0;l

 

,

 

 

 

 

 

f(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x 2l) F(x),

F(x) f( x), x l;0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0,

 

 

 

 

f(0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або непарним чином, тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0;l

 

,

 

f(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(a 2l) F(x).

F(x) f( x), x l;0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0,

 

 

 

 

f(0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графік F(x) на l;l буде відповідно симетричним відносно осі Oy або

початку координат (рис. 11.3 а, б):

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

O

l

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

l

O

l

 

 

 

 

 

а)

Рис. 11.3

 

б)

 

 

 

 

 

Знаходимо розвинення в

ряд

Фур’є

 

допоміжної функції F(x) з

періодом 2l . На інтервалі 0;l

дістанемо розвинення функції f(x) в ряд Фур’є,

що містить тільки косинуси або тільки синуси.

 

 

0;l , в ряд Фур’є за

Приклад 11.2.

Розвинемо функцію f(x) 1, x

 

синусами.

 

 

 

 

Графік функції f(x) на інтервалі 0;l зображено на рис. 11.4.

 

 

y

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

 

 

 

0

l

 

 

 

 

Рис. 11.4

 

 

 

Непарним продовженням f(x) на інтервалі l;0

є функція

 

 

 

0 x

l,

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x)

l x

0.

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовжимо її періодично з періодом T 2l на всю дійсну вісь. Функція кусково-неперервна, не має екстремумів, обмежена, отже, задовольняє умови теореми Діріхле.

Графік суми ряду Фур’є за синусами, тобто ряду Фур’є функції F(x), зображено на рис. 11.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11.5

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислимо коефіцієнти Фур’є цієї функції:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

a0 an 0,n ,

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

l

1 sinn l xdx

 

 

cosn l x

 

0

n

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,n

 

 

 

 

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1) 1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,n 2k 1,k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 sin 2n 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(0) S( l) 0.

 

 

 

Таким чином,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x),x 0;l ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

x 0, l,

 

 

 

 

 

T 2l.

 

S(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x),x

 

l;0

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В загальному випадку функцію f(x), яка на проміжку

Зауваження 11.2.

 

 

 

 

 

 

0;l

 

задовольняє

 

 

 

умови теореми Діріхле, можна

 

 

 

 

продовжити на проміжок l;0 за допомогою

 

 

 

 

довільної функції, яка не порушує умови теореми

 

 

 

 

Діріхле. Отже, функцію,

яка задана на проміжку 0;l ,

 

 

 

 

нескінченною кількістю способів можна розвинути в

 

 

 

 

ряд Фур’є. Суми таких рядів Фур’є співпадають з

 

 

 

 

заданою функцією на проміжку 0;l .

11.2. Комплексна форма ряду Фур’є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай 2 - періодична функція

 

f(x), x ; , задовольняє умови теореми

Діріхле. Тоді на відрізку

 

; для неї можна побудувати ряд Фур’є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

an cosnx sinnx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Застосовуючи формули Ейлера:

cos

ei

e i

 

 

sin

ei e i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

одержимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

einx

e inx

 

 

 

 

einx

e inx

 

 

f(x)

 

 

an

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

0

 

 

 

 

a

ib

 

 

 

 

a ib

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

neinx

 

n

 

 

 

 

n

e inx.

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запровадимо позначення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

c

 

 

an ibn

 

 

c ,

an ibn

c

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) c0

 

cneinx

c ne inx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0 cneinx

 

cneinx,

 

 

 

 

тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

cneinx.

 

 

 

 

 

 

(11.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вираз (11.4) називають комплексною формою ряду Фур’є функції f(x) з

комплексними коефіцієнтами Фур’є cn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для коефіцієнтів cn справджуються співвідношення:

 

 

 

 

 

 

 

a

n

ib

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)(cosnxdx i sinnx)dx

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)e inxdx,n .

 

 

 

 

(11.5)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

2l , тоді комплексна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо функція f(x) задана на відрізку

l;l

форма ряду Фур’є набуває вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

cnei

l x,

 

 

 

 

 

 

 

(11.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де коефіцієнти cn обчислюються за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

l

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cn

 

f(x)e i l

xdx,n .

 

 

 

 

(11.7)

 

 

 

 

 

2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцію ei l

 

x

називають n-ою комплексною гармонікою, отже, ряд (11.2)

описує розвинення функції за комплексними гармоніками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауваження 11.3.

 

 

Для

дійсної

 

функції

 

f(x) коефіцієнти cn

 

 

та c n є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексно-спряженими числами c n

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

n

 

 

 

 

 

 

a

 

b i

 

 

 

 

a2

 

b

2

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

2

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отже, модулі коефіцієнтів комплексного ряду Фур’є є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

амплітудами відповідних гармонік.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 11.3.

 

 

 

 

 

Знайдемо комплексну форму ряду Фур’є для функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) x ( x ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

inx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

inx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

inx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

xe

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

xe

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2 ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

in

 

 

 

in

 

1

 

 

in

 

 

 

 

 

in

 

 

 

 

 

 

cosn

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

,n 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

2 ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0

 

 

xdx 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Фур’є набуває вигляду:

i

1

n

 

 

1

1

n

 

1

n

 

 

einx

i

einx

i

einx,

n 0

n

 

 

 

 

 

n

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

x i

 

 

einx, x ; ,

S( ) 0.

 

n

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауваження 11.4. Знаючи комплексні коефіцієнти Фур’є cn , можна знайти відповідні дійсні коефіцієнти Фур’є an та bn за формулами

a20 c0, an 2Recn, bn 2Imcn.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]