ДКРФІОТ

похідною від цих незалежних одиниць. Сила в 1Н дорівнює силі, яка надає тілу масою в 1 кг прискорення в 1 м/с2.

Третій закон – закон рівності дії і протидії

Дві матеріальні точки діють одна на одну з силами, рівними за величиною і протилежними за напрямками, по одній лінії дії.

Цей закон визначає властивість сил взаємодії між двома матеріальними

точками незалежно від системи координат.

Четвертий закон – закон незалежності дії сил (суперпозиції)

Прискорення матеріальної точки від дії системи сил дорівнює векторній сумі прискорень від дії кожної сили зокрема.

Цей закон стверджує що між діючими на матеріальну точку силами немає взаємного впливу відносно прискорень. Тобто, якщо прискорення від

Цей результат випливає з аксіоми статики про паралелограм сил.

Плоский, або плоскопаралельний рух твердого тіла у кожну мить складається з поступального руху разом з центром мас і обертального навколо центра мас. Застосовуючи для вивчення плоского руху твердого тіла теореми про рух центра мас і про зміну момента кількості руху відносно осі, що проходить через центр мас тіла і

11

перпендикулярно до площини, параельно якої відбувається рух, будемо використовувати рівняння плоского руху твердого тіла.

В проекціях на осі координат дістанемо три диференціальних рівняння плоского руху твердого тіла:

I z M

Перші два рівняння характеризують поступальну, а третє рівняння

– обертальну частину плоского руху. Кількість рівнянь руху відповідає кількості степенів вільності, які має тверде тіло, що знаходиться у плоскому русі.

Принцип Даламбера (метод кінетостатики)

Система сил, що діє на матеріальну точку або механічну систему, в

загальному випадку є неврівноваженою.

Принцип Даламбера дає можливість врівноважити систему сил: для невільної матеріальної точки в кожний момент часу сума активних сил, що прикладені до точки, реакції в язів і сил інерції дорівнює нулю:

дорівнює за модулем добутку маси точки на її прискорення і спрямований у бік,

силою інерції.

12

Для механічної системи як сукупності матеріальних точок, на кожну з яких діє врівноважена за Даламбером, система сил, принцип Даламбера має вигляд:

Принцип Даламбера дає єдиний метод складання диференційних рівнянь руху невільних систем. Застосування цього принципу для розв язання задач динаміки методами рівноваги сил статики називається методом кінетостатики.

Приведення сил інерції

Сили інерції для кожного тіла системи приводяться окремо. Головний

б) Плоский рух твердого тіла (тіло має площину матеріальної симетрії, яка співпадає з площиною руху) – сили інерції приводяться до головного вектора

прискоренню тіла , ас – прискорення центра мас.

в) Обертальний рух твердого тіла:

- при приведенні до центра мас системи:

- при приведенні осі обертання сила буде прикладена до осі обертання z і

головний момент М i I Z , I Z момент інерції відносно осі обертання.

13

Якщо центр маси системи лежить на осі обертання, то сили інерції

приводяться тільки до пари M i .

Принцип можливих переміщень (принцип Лагранжа)

Можливим переміщенням системи називається сукупність

нескінченно малих переміщень точок системи, що допускаються на даний,

фіксований момент часу в язами. Вони мають наступні властивості:

1)нескінченно мале S переміщення точок системи;

2)уявні, а не дійсні переміщення точок системи, хоч в певних випадках нескінченно малі дійсні переміщення можуть бути можливими;

3)переміщення, які можна в принципі реалізувати, не порушуючи зв’язків.

Кількість незалежних між собою можливих переміщень системи і

називається кількістю ступенів свободи цієї системи.

Точці, яка лежить на поверхні, можна надати два незалежних можливих переміщення, наприклад, вздовж двох осей, як показано на рисунку. Будь-яке третє можливе переміщення можна виразити через ці два,

тобто вона має два ступені свободи.

A

AB P

Система має один ступінь свободи, тому що залежить від х3 і

навпаки.

Можливо роботою сили називається елементарна робота, яку могла б виконати сила на переміщенні точки, що співпадає з можливим:

14

Для сили, яка обертає тіло, ця робота: A M Z (F ) .

В язі називаються ідеальними, якщо можлива робота реакцій в язів на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:

n

Ri rS 0.

i 1

Ідеальні в язі: шарнір, поверхня, невагомий стержень, ідеальна нитка

– без урахування сил тертя.

Сили, які не є реакціями зв’язків, називаються активними.

Принцип можливих переміщень: для рівноваги системи з ідеальними в язами необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на систему, на будь-якому можливому переміщенні системи з даного положення дорівнювала нулю:

i 1

Принцип можливих переміщень дає у загальній формі умови рівноваги для будь-якої механічної системи, тоді як умови рівноваги статики розглядають рівновагу кожного тіла системи відокремлено.

Загальне рівняння динаміки

переміщенні дорівнює нулю, тобто

15

i 1

де Fix , Fiy , Fiz проекції активних сил на осі декартових координат, x, y, z –

проекція прискорення і-ї точки системи; xi yi , zi – проекції можливих перміщень точки на ті самі осі координат.

Можливі підходи до отримання рівнянь руху розглянемо на наступному прикладі. Тіло 1 (брусок) може рухатись вздовж горизонтальної шорсткої поверхні. До кінця бруска прикріплено кінець невагомої нерозтяжної нитки,другий кінець якого намотано на поверхню А подвійного блока 2, що обертається навколо нерухомої вісі С2 . На поверхню В того ж блока намотано іншу невагому нерозтяжну нитку, другий кінець якої намотано на поверхню котка 3. Останній котиться без ковзання по похилій площині, яку встановлено під кутом 450 до горизонту (рис. 1.1.).

16

1.1 Застосування загальних теорем динаміки

Розрахункову схему наведено на рисунку 1.2. Розглянута система має одну степінь вільності.

Рисунок 1.2

Розпочнемо із складання рівнянь руху кожного з тіл системи із застосуванням загальних теорем динаміки про рух центра мас та про зміну кінетичного моменту.

18

оскільки при поступальному русі швидкості всіх точок однакові) в векторній формі має вигляд:

Центр мас співпадає з віссю обертання, отже, залишається нерухомим. На

тіло діють наступні сили: сила T1 на тяжіння нитки, що з’єднує блок з брусом

19

Впроекціях на осі x2 , y2 отримаємо

x2 : T1 T2 cos N2 x 0;.

y 2 : T2 sin m2 g N2 y 0.

Ці рівняння можуть бути використані для визначення сил реакції N 2 x та N 2 y ,

але оскільки вони не становлять інтересу для даної задачі, надалі їх розглядати не будемо.

На підставі теореми про зміну кінетичного моменту запишемо рівняння

обертального руху блоку відносно осі C2 :

Нарешті, моменти (додатний напрямок відліку моментів співпадає з додатним напрямком кутової швидкості. Останній, як і напрямки

20