
- •1.Визначники другого і третього порядку,їх властивості
- •2.Системи трьох рівнянь з трьома невідомими. Формули Крамера. Однорідні системи
- •3.Поняття вектора і проекції вектора на вісь. Лінійні операції над векторами.
- •4.Вектори в декартовій системі координат. Направляючі косинуси вектора
- •8. Векторний добуток векторів заданих координатами.Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів.
- •9.Мішаний добуток векторів,його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови для компланарності трьох векторів
- •10.Рівняння площини що проходить через задану точку,перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння площини та його дослідження. Геометричний зміст рівняння першого степеня з трьома змінними
- •11.Нормальне рівняння площини. Рівняння площини що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
- •14 Відстань від точки до прямої на площині і від точки до прямої в просторі. Відстань між мимобіжними прямими
- •15. Кут між площинами. Кут між прямими на площині. У мова паралельності і перпендикулярності площин і прямих на площині
- •20.Поняття поверхні другого порядку. Циліндричні поверхні
- •22.Однопорожнинний гіперболоїд. Двопорожнинний гіперболоїд
- •23.Єліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд
- •24.Матриці і дії над ними
- •27.Границя функції. Односторонні границі. Границі послідовності
- •28.Нескінченно великі і нескінченно малі функції і зв’язок між ними. Властивості н.М.Ф.
- •29.Властивості функцій,що мають границю(обмеженість). Теорема про представлення функції,що має границю. Теорема про єдність границі
20.Поняття поверхні другого порядку. Циліндричні поверхні
Поверхнею
другого порядку
називається множинаточок, прямокутні координати яких
задовольняютьрівняннявидуах2
+ by2
+ cz2
+ dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0,де
принаймні один з коефіцієнтіва,
b, c, d, e, f
відмінний від нуля. Це рівняння називається
загальним рівнянням поверхні другого
порядку.Поверхность,
образованная движением прямой L, которая
перемещается в пространстве, сохраняя
постоянное направление и пересекая
каждый раз некоторую кривую К,
называется цилиндрической поверхностью
или цилиндром. При этом кривая К называется
направляющей цилиндра, а прямая L — его
образующей (см. рис. 83).Будем рассматривать
цилиндрические поверхности, направляющие
которых лежат в одной из координатных
плоскостей, а образующие параллельны
координатной оси, перпендикулярной
этой плоскости.Пусть в плоскости Оху
лежит некоторая линия К, уравнение
которой F(x;y)= (12.21)Построим
цилиндр с образующими параллельными
оси Oz и направляющей К.Теорема
12.1.
Уравнение цилиндра, образующие которого
параллельны оси Oz, имеет вид (12.21), т. е.
не содержит координаты z.Возьмем на
цилиндре любую точку M(x;y;z) (см.
рис. 84). Она лежит на какой-то образующей.
Пусть N — точка пересечения этой
образующей с плоскостью Оху. Следовательно,
точка N лежит на кривой K и ее координаты
удовлетворяют уравнению (12.21).Но точка
Μ имеет такие же абсциссу x и ординату
у, что и точка N. Следовательно, уравнению
(12.21) удовлетворяют и координаты точки
M(x;y;z) ,
так как оно не содержит z. И так как Μ —
это любая точка цилиндра, то уравнение
(12.21) и будет уравнением этого цилиндра.
Теперь
ясно, что F(x;z)=0 есть
уравнение цилиндра с образующими,
параллельными оси Оу, a F(y;z)=0с
образующими, параллельными оси Ox.
Название цилиндра определяется названием
направляющей. Если направляющей служит
эллипсв
плоскости Оху, то соответствующая
цилиндрическая поверхность называется
эллиптическим цилиндром (см. рис.
85).
Частным
случаем эллиптического цилиндра является
круговой цилиндр, его уравнение
.
Уравнениеx^2=2pz определяет
в пространстве параболический цилиндр
(см. рис. 86). Уравнение
определяет
в пространстве гиперболический
цилиндр (см. рис. 87).Все эти поверхности
называются цилиндрами второго порядка,
так как их уравнения есть уравнения
второй степени относительно текущих
координат х, у и z.
21.Сфера.ЕліпсоїдИсследуем
поверхность, заданную
уравнением(12.28)Рассмотрим
сечения поверхности (12.28) с плоскостями,
параллельными плоскости хОу. Уравнения
таких плоскостей:z=h,
где h — любое число.Линия, получаемая в
сечении, определяется двумя
уравнениями
(12.29)
Исследуем уравнения (12.29):
а)
Если |h|>c,
c>0,
то
.
Точек пересечения поверхности (12.28) с
плоскостямиz=h не
существует.б) Если
,
т. е. , то
.
Линия пересечения (12.29) вырождается в
две точки
и
.
Плоскостиz=c и
z=-c касаются
данной поверхности.в) Если
,
то уравнения (12.29) можно переписать в
виде:
Как
видно, линия пересечения есть эллипс с
полуосями (см. рис. 91)
При
этом чем меньше |h|,
тем больше полуоси a1 и
b1.
При h=0 они
достигают своих наибольших значений:
a1=a,
b1=b.
Уравнения (12.29) примут вид
Аналогичные
результаты получим, если рассмотрим
сечения поверхности (12.28) плоскостямиx=h и
y=h.Таким
образом, рассмотренные сечения позволяют
изобразить поверхность (12.28) как замкнутую
овальную поверхность. Поверхность
(12.28) называется эллипсоидом. Величины
а, b и с называются полуосями эллипсоида.
Если все они различны, то эллипсоид
называется трехосным; если какие-либо
две полуоси равны, трехосный эллипсоид
превращается в эллипсоид вращения; если
a=b=c,
то — в сферу
.