
- •1.Визначники другого і третього порядку,їх властивості
- •2.Системи трьох рівнянь з трьома невідомими. Формули Крамера. Однорідні системи
- •3.Поняття вектора і проекції вектора на вісь. Лінійні операції над векторами.
- •4.Вектори в декартовій системі координат. Направляючі косинуси вектора
- •8. Векторний добуток векторів заданих координатами.Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів.
- •9.Мішаний добуток векторів,його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови для компланарності трьох векторів
- •10.Рівняння площини що проходить через задану точку,перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння площини та його дослідження. Геометричний зміст рівняння першого степеня з трьома змінними
- •11.Нормальне рівняння площини. Рівняння площини що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
- •14 Відстань від точки до прямої на площині і від точки до прямої в просторі. Відстань між мимобіжними прямими
- •15. Кут між площинами. Кут між прямими на площині. У мова паралельності і перпендикулярності площин і прямих на площині
- •20.Поняття поверхні другого порядку. Циліндричні поверхні
- •22.Однопорожнинний гіперболоїд. Двопорожнинний гіперболоїд
- •23.Єліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд
- •24.Матриці і дії над ними
- •27.Границя функції. Односторонні границі. Границі послідовності
- •28.Нескінченно великі і нескінченно малі функції і зв’язок між ними. Властивості н.М.Ф.
- •29.Властивості функцій,що мають границю(обмеженість). Теорема про представлення функції,що має границю. Теорема про єдність границі
11.Нормальне рівняння площини. Рівняння площини що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
Нормальное
уравнение плоскости
Положение
плоскости вполне определяется заданием
единичного вектора е,
имеющего направление перпендикуляра
ОК, опущенного на
плоскость
из начала координат, и длиной p
этого перпендикуляра (см. рис. 71).Пусть
ОК = p,
а α, β, — углы, образованные единичным
вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда.
Возьмем
на плоскости произвольную точку М(х; у;
z) и соединим ее с началом координат.
Образуем вектор
.
При любом положении точки Μ на плоскости
Q проекция радиус-вектораr на
направление вектора e всегда
равно р:
,
т. е.
или
(12.8)нение
(12.8) называется нормальным уравнением
плоскости в векторной форме. Зная
координаты векторов f иe,
уравнение (12.8) перепишем в виде
(12.9)Уравнение
(12.9) называется нормальным уравнением
плоскости в координатной форме.Отметим,
что общее уравнение плоскости (12.4) можно
привести к нормальному уравнению (12.9)
так, как это делалось для уравнения
прямой на плоскости. А именно: умножить
обе части уравнения (12.4) на нормирующий
множитель
,
где знак берется противоположным знаку
свободного члена D общего уравнения
плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через
три данные точки.Три
точки пространства, не лежащие на одной
прямой, определяют единственную
плоскость. Найдем уравнение плоскости
Q, проходящей через три данные точки
M1(x1;y1;z1),
М2(x2;y2;z2)
и М3(х3,y3,z3),
не лежащие на одной прямой.Возьмем на
плоскости произвольную точку M(x;y;z) и
составим векторы
,
,
.
Эти векторы лежат на плоскости Q,
следовательно, они компланарны. Используем
условие компланарности трех векторов
(их смешанное произведение равно нулю),
получаем
,
т.
(12.6)
Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть
плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz
соответственно отрезки a,
b
и c,
т. е. проходит через три точки A(a;0;0),
B(0;b;0)
и C(0;0;c)
(см.рис. 70). Подставляя координаты этих
точек в уравнение (12.6), получаем
Раскрыв
определитель, имеем
,
т. е
или
(12.7)
Уравнение (12.7) называется уравнением
плоскости в отрезках на осях. Им удобно
пользоваться при построении плоскости.
12.Векторне,канонічне і параметричне рівняння прямої в просторі. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Загальне рівняння прямої в просторі. Перехід від загального рівняння прямої до канонічного
Векторное
уравнение прямой
Положение прямой в пространстве вполне
определено, если задать какую-либо точку
М0
на прямой и вектор s,
параллельный этой прямой. Вектор
s называется
направляющим вектором прямой. Пусть
прямая L задана ее точкой
и
направляющим вектором
.
Возьмем на прямой L произвольную точку
M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек
М0
и Μ соответствено через r0 и
r
Очевидно, что три вектора r0,
r и
связаны
соотношением
(12.10)Вектор
,
лежащий на прямой L, параллелен
направляющему векторуs,
поэтому
где
t — скалярный множитель, называемый
параметром, может принимать различные
значения в зависимости от положения
точки Μ на прямой (см. рис. 75). Уравнение
(12.10) можно записать в
виде
(12.11)Полученное
уравнение называется векторным уравнением
прямой.Параметрические
уравнения прямой
Замечая, что
,
,
,
уравнение (12.11) можно записать в виде
Отсюда
следуют равенства:
(12.12)Они называются параметрическими
уравнениями прямой в пространстве.Канонические
уравнения прямойПусть
—
направляющий вектор прямой L и
-
точка, лежащая на этой прямой. Вектор
,
соединяющий точку М0
произвольной точкой
прямой
L, параллелен векторуs.
Поэтому координаты вектора
и
вектора
пропорциональны:
(12.13)Уравнения
(12.13) называются каноническими уравнениями
прямой в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве,
проходящей через две точкиПусть
прямая L проходит через точки
и
.(2)
В качестве направляющего вектораs можно
взять вектор
,
т.е.
(см.
рис. 76). Следовательно, ,m=x2-x1;n=y2-y1;p=z2-z1,
Поскольку прямая проходит через
точку
,
то, согласно уравнениям (12.13), уравнения
прямой L имеют вид
(12.14)
Общие
уравнения прямой
Прямую в пространстве можно задать как
линию пересечения двух непараллельных
плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
(12.15)Каждое
из уравнений этой системы определяет
плоскость. Если плоскости не параллельны
(координаты векторов
и
не
пропорциональны), то система (12.15)
определяет прямую L как геометрическое
место точек пространства, координаты
которых удовлетворяют каждому из
уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения
(12.15) называют общими уравнениями
прямой.От общих уравнений (12.15) можно
перейти к каноническим уравнениям
(12.13). Координаты точки M0
на прямой L получаем из системы уравнений
(12.15), придав одной из координат произвольное
значение (например, z = 0). Так как прямая
L перпендикулярна векторам n1 и
n2
то за направляющий вектор s прямой
L можно принять векторное
произведение
:
Замечание:
Канонические уравнения прямой легко
получить, взяв две какиелибо точки на
ней и применив уравнения (12.14).
13.Різні
види рівнянь прямої на площині.Угол
между прямой и плоскостью. Условия
параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскостиПусть
плоскость Q задана уравнением
,
а прямая L уравнениями
.Углом
между прямой и плоскостью называется
любой из двух смежных углов, образованных
прямой и ее проекцией на плоскость.
Обозначим через φ угол между плоскостью
Q и прямой L, а через — угол между
векторами
и
(см.
рис. 80). Тогда
.
При этом
:
если
,
то
;
если
,
то
.
(12.17)Острый
угол между плоскостью Q и прямой L можно
найти, взяв в формуле (12.17) модуль
правой части.Если прямая L параллельна
плоскости Q, то векторыn и
s перпендикулярны
(см. рис. 81), а потому s*n=0,
т. е.
является
условием параллельности прямой и
плоскости.
Если
прямая L перпендикулярна плоскости Q,
то векторы n и
s параллельны
(см. рис. 82). Поэтому равенства
являются
условиями перпендикулярности прямой
и плоскости.Пересечение
прямой с плоскостью. Условие принадлежности
прямой плоскостиПусть
требуется найти точку пересечения
прямой
(12.18)с плоскостью
(12.19)Для
этого надо решить систему уравнений
(12.18) и (12.19). Проще всего это сделать,
записав уравнения прямой (12.18) в
параметрическом виде:
Подставляя
эти выражения для х, у и z в уравнение
плоскости (12.19), получаем уравнение
или
.
(12.20)Если прямая L не параллельна плоскости,
т. е. если
,то
из равенства (12.20) находим значение
t:
Подставляя
найденное значение t в параметрические
уравнения прямой найдем координаты
точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда
:а)
если (F)
,
то прямая L параллельца плоскости и
пересекать ее не будет (уравнение (12.20)
решения не имеет так как имеет вид
,0*t+F=0
где F!=0);б)
если
,
то уравнение (12.20) имеет видt*0+0=0;
ему удовлетворяет любое значение t,
любая точка прямой является точкой
пересечения прямой и плоскости. Заключаем:
прямая лежит в плоскости. Таким образом,
одновременное выполнение равенств
является
условием принадлежности прямой плоскости.