
- •1.Визначники другого і третього порядку,їх властивості
- •2.Системи трьох рівнянь з трьома невідомими. Формули Крамера. Однорідні системи
- •3.Поняття вектора і проекції вектора на вісь. Лінійні операції над векторами.
- •4.Вектори в декартовій системі координат. Направляючі косинуси вектора
- •8. Векторний добуток векторів заданих координатами.Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів.
- •9.Мішаний добуток векторів,його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови для компланарності трьох векторів
- •10.Рівняння площини що проходить через задану точку,перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння площини та його дослідження. Геометричний зміст рівняння першого степеня з трьома змінними
- •11.Нормальне рівняння площини. Рівняння площини що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
- •14 Відстань від точки до прямої на площині і від точки до прямої в просторі. Відстань між мимобіжними прямими
- •15. Кут між площинами. Кут між прямими на площині. У мова паралельності і перпендикулярності площин і прямих на площині
- •20.Поняття поверхні другого порядку. Циліндричні поверхні
- •22.Однопорожнинний гіперболоїд. Двопорожнинний гіперболоїд
- •23.Єліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд
- •24.Матриці і дії над ними
- •27.Границя функції. Односторонні границі. Границі послідовності
- •28.Нескінченно великі і нескінченно малі функції і зв’язок між ними. Властивості н.М.Ф.
- •29.Властивості функцій,що мають границю(обмеженість). Теорема про представлення функції,що має границю. Теорема про єдність границі
9.Мішаний добуток векторів,його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови для компланарності трьох векторів
Розгланемо мішаний добуток векторів а, в та с,складене наступним чином (axb)c. Тут перші два вектора перемножуються векторно а їх результат скалярно на третій вектор. Такий добуток називається векторно скалярним або мішаним добутком трьох векторів. Представляє з себе деяке число. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах,равен модулю их смешанного произведения. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb (см. рис. 22).
Имеем:
(а
х b)
•
с
= d
• с
= |d|
• прdс,
|d|=|а
х b|
=S,
где S
— площадь параллелограмма, построенного
на векторах а
и b,
прdс
= Н Для правой тройки векторов и прdс
= - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда.
Получаем: (axb
)*c
=S
*(±H
), т. е. (axb
)*c
=±V
, где V
— объем параллелепипеда, образованного
векторами а,
b
и с.
1. Смешанное произведение не меняется
при циклической перестановке его
сомножителей, т. е. (а
х b
)•с=(b
х с)•а=(с
х а)•b
.Действительно, в этом случае не изменяется
ни объем параллелепипеда, ни ориентация
его ребер 2. Смешанное произведение
не меняется при перемене местами знаков
вкторного и скалярного умножения, т. е.
(ахb
)•с=а*(bx
с).Действительно,
(ахb
)•с=±V
и а•(b
хс)=(b
хс)•а=±V
. Знак в правой части этих равенств берем
один и тот же, так как тройки векторов
а , b
, с
и b
, с
, а
— одной ориентации.Следовательно, (a
хb
)•с=a
(b
хс).
Это позволяет записывать смешанное
произведение векторов (а
х b
)с
в виде abc
без
знаков векторного, скалярного умножения.3.
Смешанное произведение меняет свой
знак при перемене мест любых вух
векторов-сомножителей, т. е. abc
=-acb
, abc
=-bac
, abc
=-cba
.Действительно, такая перестановка
равносильна перестановке сомножителей
в векторном произведении, меняющей у
произведения знак.4.Смешанное произведение
ненулевых векторов
а,
b
и с
равно нулю огда и только тогда, когда
они компланарны.Если abc
=0
, то а,
b
и с—
компланарны.Допустим, что это не так.
Можно было бы построить параллелепипед
с объемом V
0. Но так как abc
=±V
, то получили бы, что abc0
. Это противоречит условию: abc
=0.Обратно,
пусть векторы а,
b
, с
— компланарны. Тогда вектор d
=ахb
будет перпендикулярен плоскости, в
которой лежат векторы а,
b
,с,
и следовательно, d
с.
Поэтому d
•с=0,
т. е. abc
=0.
10.Рівняння площини що проходить через задану точку,перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння площини та його дослідження. Геометричний зміст рівняння першого степеня з трьома змінними
Пусть
в пространстве Oxyz плоскость Q задана
точкой
и
вектором
,
перпендикулярным этой плоскости (см.
рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q.
Возьмем на ней произвольную точку
и
составим вектор
.
При любом расположении точки Μ на
плоскости Q векторы
и
взаимно
перпендикулярны, поэтому их скалярное
произведение равно нулю:
,
т. е.
(12.3)Координаты
любой точки плоскости Q удовлетворяют
уравнению (12.3), координаты точек, не
лежащих на плоскости Q, этому уравнению
не удовлетворяют (для них
).
Уравнение (12.3) называется уравнением
плоскости, проходящей через
данную точку
перпендикулярно
вектору
.
Оно первой степени относительно текущих
координат x, y, z. Вектор
называется
нормальным вектором плоскости.Придавая
коэффициентам А, В и С уравнения (12.3)
различные значения, можно получить
уравнение
любой плоскости, проходящей череp точку
M0.
Совокупность плоскостей, проходящих
через данную точку, называется связкой
плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением
связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим
общее уравнение первой степени с тремя
переменными х, у и z:
(12.4)Полагая,
что по крайней мере один из коэффициентов
А, В или С не равен нулю, например
,
перепишем уравнение (12.4) в виде
(12.5)
Сравнивая
уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим,
что уравнения (12.4) и (12.5) являются
уравнением плоскости с нормальным
вектором
,
проходящей через точку
.Итак,
уравнение (12.4) определяет в системе
координат Oxyz некоторую плоскость.
Уравнение (12.4) называется общим уравнением
плоскости.Частные случаи общего уравнения
плоскости:1. Если D = 0, то оно принимает
вид
.
Этому уравнению удовлетворяет точка
.
Следовательно, в этом случае плоскость
проходит через начало координат.2.
Если С = 0, то имеем уравнение
.
Нормальный вектор
перпендикулярен
оси Οz. Следовательно, плоскость
параллельна оси Οz; если B = 0 — параллельна
оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.3.
Если С = D = 0, то плоскость проходит через
параллельно
оси Οz, т. е. плоскость
проходит
через ось Οz. Аналогично, уравнениям
иAx+Cz=0 отвечают
плоскости, проходящие соответственно
через оси Ох и Оу.
4.
Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает
вид Cz+D=0,
т. е.
Плоскость
параллельна плоскости Оху. Аналогично,
уравнениям
и
отвечают
плоскости, соответственно параллельные
плоскостям Oyz и Οxz.5. Если A = B = D = 0, то
уравнение (12.4) примет видCz=0,
т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху.
Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости
Οxz; x = О — уравнение плоскости Oyz.