
- •1.Визначники другого і третього порядку,їх властивості
- •2.Системи трьох рівнянь з трьома невідомими. Формули Крамера. Однорідні системи
- •3.Поняття вектора і проекції вектора на вісь. Лінійні операції над векторами.
- •4.Вектори в декартовій системі координат. Направляючі косинуси вектора
- •8. Векторний добуток векторів заданих координатами.Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів.
- •9.Мішаний добуток векторів,його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови для компланарності трьох векторів
- •10.Рівняння площини що проходить через задану точку,перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння площини та його дослідження. Геометричний зміст рівняння першого степеня з трьома змінними
- •11.Нормальне рівняння площини. Рівняння площини що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
- •14 Відстань від точки до прямої на площині і від точки до прямої в просторі. Відстань між мимобіжними прямими
- •15. Кут між площинами. Кут між прямими на площині. У мова паралельності і перпендикулярності площин і прямих на площині
- •20.Поняття поверхні другого порядку. Циліндричні поверхні
- •22.Однопорожнинний гіперболоїд. Двопорожнинний гіперболоїд
- •23.Єліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд
- •24.Матриці і дії над ними
- •27.Границя функції. Односторонні границі. Границі послідовності
- •28.Нескінченно великі і нескінченно малі функції і зв’язок між ними. Властивості н.М.Ф.
- •29.Властивості функцій,що мають границю(обмеженість). Теорема про представлення функції,що має границю. Теорема про єдність границі
1.Визначники другого і третього порядку,їх властивості
Означення.
Визначником другого порядку
називається число =x1y2–y1x2
У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють
елементи а11, а22, а33. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а13, а22, а31.
2.Системи трьох рівнянь з трьома невідомими. Формули Крамера. Однорідні системи
Метод Крамера (Крамера правило) — спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці.
Для
системи
лінійних
рівнянь з
невідомими
з визначником
матриці
системи
,
що не рівний нулю,
розв'язок записується у такому вигляді:
Система m лінійних рівнянь з n невідомими називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь дорівнюють нулю.
3.Поняття вектора і проекції вектора на вісь. Лінійні операції над векторами.
Вектор-це напрямлений прямолінійний відрізок,тобто відрізок маючий деяку довжину та деякий напрямок. Нехай АВ-довільний вектор(АВ!=0),L-напрямлена пряма. Позначимо через А1, В1 проекції на вісь L . Проекцією вектора АВ на L називається додатнє число |А1В1|, якщо АВ однаково направлені(гострий кут) і навпаки(тупий).Якщо А1 і В1 співпадають(А1В1=0)(прямий) то проекція АВ дорівнює нулю. Проекції рівних векторів на одну і туж вісь рівні між собою. Проекція суми=сумі проекцій. При множені АВ на л його проекція множиться на л.
4.Вектори в декартовій системі координат. Направляючі косинуси вектора
Направляючі косинуси прямої l , косинуси кутів а, b і g, що утворюються вектором (розташованим на прямій /) з позитивним напрямом осей Ox , Оу і Oz прямокутної системи координат. Н. до. зв'язані співвідношенням cos 2 а + cos 2 b + cos 2 y = 1. Cos a=Ax/|a|,|a|=корінь з суми квадратів координат
5.поділ
відрізка в заданому відношенні Нехай
маємо дві точки
і
потрібно знайти точку
на
відрізку
,
яка ділить його у відношенні
Координати точки
шукаємо
за формулами
6.Скалярний
добуток векторів та його властивості
Скалярним
добутком
двух
ненульових векторів х та у називається
число,яке дорівнює добутку 2х векторів
на косинус кута між ними.
Скалярний добуток векторів
та
обчислюється
за формулою:
.1)ab=ba(перемістив
ний закон);ab=|a||b|cos(a,b)=
ba=|b||a|cos(b,a)
2)л(а*в)=(ла*в) 3)а(в+с)=а*в+а*с 4)a*a=|a||a|cos0=|a|^2.
5.
якщо
,
навпаки,
,
якщо
і
.
Із властивостей 4 і 5 для базисних векторів
безпосередньо отримуємо такі рівності:
7.Векторний
добуток векторів і його властивості.
Геометричний і механічний зміст
векторного добутку
Векторний
добуток векторів
вектора
а на вектор в називається вектор с
який,1)перпендикулярний векторам а и в
2)має довжину чисельно рівній площі
паралелограма побудованого на векторах
а та в 3)вектори а в с утворюють праву
трійку .1)
2)L(axb)=(La)xb=(Lb)xa
3)a||b<->axb=0
4)
а(в+с)=а*в+а*с
8. Векторний добуток векторів заданих координатами.Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів.
Нехай
задані два вектора
,
(а1,2,3
це x,y,z).
Знайдемо векторний добуток цих векторів
перемножуючи іх як многочлени axb=
Отриману формулу можна записати ще коротше
Пусть
в точке А приложена сила F
=АВ и
пусть О
—
некоторая точкапространства (см. рис.
20). Из
физики известно, чтомоментом
силы F
относительно
точки О
называется
вектор М,
который
проходит через точку О
и:1)
перпендикулярен плоскости, проходящей
через точки О,
А, В;2)
численно равен произведению силы на
плечо
3)
образует правую тройку с векторами ОА
иA
В.Стало быть, М=ОА х F
.Нахождение
линейной скорости вращения
Скорость v
точки М твердого тела, вращающегося с
угловой скоростью w
вокруг неподвижной оси, определяется
формулой Эйлера v
=w
хr
, где r
=ОМ, где О—некоторая неподвижная точка
оси