Підготовка до КРЗЗ-2 за 1-й курс
.docxЗадачі для підготовки до КР з вищої математики за І курс
(КРЗЗ-2 проводиться на 1-му практичному занятті в вересні)
Всього в КР 7 задач такого типу
Задача 1.
-
Знайти кут B трикутника АВС, якщо А(-1,-2,4), В(-4,-2,0), С(3,-2,1). Відповідь: В = ( через скалярний добуток).
-
Обчислити площу трикутника АВС, А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2). Відповідь: S =2 (Sтр = |[ , ]| (векторний добуток).
-
Знайти об’єм піраміди ABCD, якщо її вершини А(2,-3,5), В(0,2,1), С(-2,-2,3), D (3,2,4). Відповідь: V = 6. (Vпір = = │ , , │- модуль мішаного добутку).
-
Знайти розклад вектора = (-10, 4) за базисом = (1, -2), = (-3, 2).
Відповідь: =2 +4
-
Знайти відстань від точки М(-1, 2) до прямої L: -2x+y-1=0. Відповідь: d = . ( d = ).
-
Знайти відстань від початку координат до прямої, яка проходить через точки (5,2) та (-3,-2). Відповідь: .
-
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(-1,2), перпендикулярно до прямої L: -2x+y-1=0. Відповідь: у =− .
-
Знайти проекцію точки М(-1,2) на пряму L: -2x+y-1=0. Відповідь: ( , ).
-
Знайти точку В, симетричну точці А(1,2) відносно прямої L: 3x-y+9 = 0. Відповідь: В(-5,4).
-
Знайти відстань від центра кола x2 + y2 -4x + 6y -3 = 0 до початку координат. Відповідь: .
-
Написати рівняння кола, якщо точки М1(5,-1) та М2(1,2) є кінцями одного з його діаметрів. Відповідь: (х-3)2+(у- )2 = .
-
Написати рівняння дотичної до еліпса x2 + 4y2 = 40 в точці (2,-3). Відповідь: у+3 = (х-2).
Задача 2. Обчислити визначений інтеграл.
-
, Зробити заміну змінної t = .
-
, Зробити заміну змінної t = .
-
, Зробити заміну змінної x = sint.
-
, Зробити заміну змінної x = .
-
, Зробити заміну змінної x+1= 2sint.
-
, Зробити заміну змінної t = tg .
Задача 3. Обчислити невизначений інтеграл типу
, де D<0
Наприклад:
. Відповідь: ln|3x2+2x+1| - arctg +C.
Задача 4.
-
Написати формулу Маклорена 3-го порядку з залишковим членом в формі Лагранжа для функції f(x) = chx (або f(x) = cos2x, … ).
-
Написати формулу Тейлора 2-го порядку в околі точки х0=1 для функції f(x) = . Залишковий член в формі Лагранжа.
Задача 5. Знайти екстремуми функцій однієї або двох змінних.
-
f(x) = x3e-x ; f(x) = x2 + ; f(x) = x-2lnx.
-
z = x2+y2-2x+4y+10; z = (x-5)2+y2+1 (TР-2. Зад 4.)
Задача 6. Знайти загальний розв’язок ЛНДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду, або методом Лагранжа.
-
+9y = -6sin3x; 2) +2+y = (ТР-2. Зад. 31, 32).
Задача 7. Розв’язати систему ДР.
-
(ТР-2. Зад.33).