5.5.5. Перехiд до нового допустимого базисного розв’язку
Перехiд до нового ДБР здiйснюється за такими спiввiдношеннями:
(5.20)
5.5.6. Схема методу потенціалiв
Попереднiми мiркуваннями обґрунтована послiдовнiсть крокiв методу потенціалів розв’язання транспортних задач.
Крок 0. Побудова початкового ДБР.
Побудувати
початковий ДБР {
}
задачi (методом пiвнiчно-захiдного кута,
методом мінімальної вартостi й т. ін.).
Нехай
— множина пар iндексiв базисних змiнних
початкового ДБР.
Крок 1. Обчислення вiдносних оцiнок небазисних змiнних.
За
множиною
побудувати систему рiвнянь:
+
=
;(i, j
) 
.
Знайти
розв’язок {
}i=1,
…,
m, {
}j=1,
…, n
такої системи з точнiстю до доданка.
Обчислити вiдноснi оцiнки
:
=
+
–
,(i, j
)
.
Крок 2. Перевiрка умови оптимальностi.
Якщо
0
для всiх (i, j)
,
то припинити обчислення, поточне ДБР є
розв’язком початкової задачi.
Крок 3. Вибiр небазисної змiнної, що вводиться у множину базисних
Обрати
пару
таку, що
> 0
змiнну
ввести в базис.
Крок 4. Вибiр базисної змiнної, що виводиться з множини базисних.
Для змiнної
побудувати компенсаторний цикл. Видiлити
множини
i
.
Обрати
Крок 5. Перехiд до нового ДБР.
Визначити новий ДБР за допомогою спiввiдношень:
Побудувати нову множину пар iндексiв базисних змiнних:
Покласти
i перейти до кроку 1.
Продовжимо розв’язання задачi, початковий ДБР якої наведено в табл. 5.5.
Таблиця 5.5
-
v1=2
v2=5
v3=2
v4=-1
Ü
2
5
3
0
u1=05
5
10
-
Å
-1
-1
3
4
1
4
u
2=-120
0
20
-2
-
Å
-6
2
6
5
2
u3=3
Þх31
10
10
20
+3
Å
2
-
5 Ý
25
10
10
З табл. 5.5 бачимо, що, якщо
значення
(змінної, що вводиться до базису)збільшується
на одиницю, для збереження допустимості
розв’язку значення базисних змінних,
що стоять на зламах
-циклу,
необхідно скоректувати таким чином:
зменшити
на одиницю,збільшити
на одиницю,зменшити
на одиницю,збільшити
на одиницю і, нарешті,зменшити
на одиницю. Цей процес позначений знакамиÅ
та “–”
у відповідних клітинах
табл. 5.4. Введені зміни не порушують
обмежень на обсяги виробництва та попит.
Змінна,
що виводиться з базису, обирається зі
змінних, що знаходяться на зламах циклу,
значення яких зменшуються при збільшенні
.
Вони розташовуються в табл. 5.5 у
клітинах, помічених знаком“–”.
З табл. 5.5 випливає, що
,
,
–
базисні змінні, які зменшуються зі
зростанням
.
Змінною, що виводиться з базису, стає
та, що має найменше значення, оскільки
саме вона раніше за всіх досягне нуля,
і будь-яке подальше зменшення робить
її від’ємною. У цьому прикладі
=
5,
=
20,
=
10,
Таким
чином, за змінну, що вилучається,
обирається змінна
;
тоді значення
буде дорівнювати 5, а змінні, що знаходяться
на зламах циклу (базисні), відповідним
чином коректуються (тобто кожна з них
збільшується або зменшується на 5 одиниць
залежно від знакаÅ
або ”–”).
Новий розв’язок наведено у табл. 5.6.
Таблиця 5.6
-
2
5
3
0
10
10
3
4
1
4
15
5
20
2
6
5
2
5
5
10
20
5
25
10
10
Цей розв’язок має таку вартість:
z1
Одержана
вартість є відмінною від z0
на 185 — 170 = 15 од. вартості, тобто на
величину, приписану змінній
=
5 і помножену на
=
3.
Оптимальність
нового базисного розв’язку з табл. 5.6
перевіряють обчисленням нових
потенціалів та оцінок
небазисних змінних (табл. 5.7).
Небазисна змінна
,
що має максимальну додатну оцінку
=
2, вводиться до складу базисних.
Таблиця 5.7
-
v1=-1
v2=5
v3=2
v4=-1
2
5
3
0
u1=0
10
10
-3
-1
-1
3
4
1
4
u2=-1
1
55
20
-5
¾
Å
-6
2
6
5
2
u3=3
5
x32
5
10
20
+2
Å
¾
5
25 Ý
10 ß
10
Замкнений
цикл, що відповідає
,
,
показує, що з базису повинна бути вилучена
змінна
У
табл. 5.8 наведено новий базисний
розв’язок з вартістю
.
Таблиця 5.8
-
v1=1
v2=5
v3=2
v4=1
2
5
3
0
u1=010
х14
10
-1
-
-1
+1
Å
Ü
3
4
1
4
u2=-1
10
10
20
-3
-6
2
6
5
2
u3=15
5
10
20
Å
-2
-
5
25
10
10 ß
Оскільки
,
то розв’язок не оптимальний. Для змінної
,
що вводиться до базису, побудуємо
компенсаторний цикл:
.
З компенсаторного циклу бачимо, що з
базису може бути вилучена або змінна
,
або змінна
(оскільки
);
зупинимося на останній. У результаті
одержимо розв’язок, наведений у табл.
5.9.
Таблиця 5.9
-
v1=1
v2=5
v3=2
v4=0
2
5
3
0
u1=0
0
10
10
-1
-1
3
4
1
4
u2=-1
10
10
20
-3
-5
2
6
5
2
u3=1
5
15
20
-2
-1
5
25
10
10
Оскільки відносні оцінки всіх небазисних змінних у цьому розв’язку недодатні, одержаний розв’язок — оптимальний.
Оптимальний план перевезень наведено в табл. 5.10.
Таблиця 5.10
|
Пункт виробництва |
Пункт споживання |
Обсяг перевезення |
Вартість перевезення |
|
1 |
4 |
10 |
0 |
|
2 |
2 |
10 |
40 |
|
2 |
3 |
10 |
10 |
|
3 |
1 |
5 |
10 |
|
3 |
2 |
15 |
90 |
|
|
Усього |
50 |
150 |