
- •5. Транспортна задача лiнiйного програмування
- •5.1. Змiстовна постановка та формальна модель транспортної задачi лiнiйного програмування
- •5.2. Умова iснування розв’язку транспортної задачі лінійного програмування
- •5.3. Побудова формальної моделi транспортної задачі лінійного програмування при порушеннi умов балансу в змiстовiй постановцi
- •5.4. Векторна форма запису транспортної задачі лінійного програмування
- •5.5. Метод потенцiалiв
- •5.5.1. Загальна схема алгоритму
- •5.5.2. Методи побудови початкового допустимого базисного розв’язку
- •Крок 3.
- •5.5.4. Знаходження змінної, що виводиться з базису (побудова циклу)
- •5.5.5. Перехiд до нового допустимого базисного розв’язку
- •5.5.6. Схема методу потенціалiв
- •5.6. Приклад розв’язання транспортної задачi лiнiйного програмування
- •5.7. Приклади компенсаторних циклiв
- •5.8. Зіставлення методу потенціалів I симплекс-методу
- •Задачi для самостійної роботи
- •Контрольнi запитання
- •Завдання до контрольної роботи
- •Двоїстий симплекс-метод
- •6.1. Основні теоретичні положення
- •6.2. Схема двоїстого симплекс-методу для задачі максимізації цільової функції
- •6.3. Сфера застосування двоїстого симплекс-методу
- •6.4. Приклад застосування двоїстого симплекс-методу
- •6.5. Додавання нового обмеження
- •Завдання до самостійної роботи
- •Варіанти завдань
- •Контрольні завдання
- •Список літератури
5.5.4. Знаходження змінної, що виводиться з базису (побудова циклу)
Цей крок еквівалентний використанню умови допустимості в симплекс-методі. Оскільки всі коефіцієнти в обмеженнях транспортної задачі дорівнюють або нулю, або одиниці, відношення, що використовуються під час перевірки умови допустимості, завжди будуть мати знаменник, що дорівнює одиниці. Тому значення базисних змінних одразу ж дають відповідні відношення.
Для
визначення мінімального відношення
побудуємо замкнений
цикл, який відповідає
змінній, що вводиться (
на першiй iтерацiї).
Призначення цього циклу – компенсувати
зміну небазисної змінної з метою
відновлення балансу за рядками та
стовпчиками (цей цикл називають
компенсаторним).
Цикл
починається та закінчується обраною
небазисною змінною. Він складається з
послідовності
горизонтальних та вертикальних
(зв’язаних) відрізків, кінцями яких
повинні бути базисні змінні (за винятком
тих кінців, які стосуються змінної, що
вводиться до базису). Це означає, що
кожна клiтина, що стоїть у вершині (зламі)
циклу, повинна містити базисну змінну.
Табл. 5.5 ілюструє цикл, який відповідає
ввідній змінній
для початкового базисного розв’язку
задачі з табл. 5.2. Цей цикл можна
виразити за допомогою базисних змінних
таким чином:
.Несуттєво, у якому
напрямі (за чи проти годинникової
стрілки) проводиться обхід циклу.
Відзначимо, що відповідно до наступної
теореми 4 та її наслідкiв для кожного
базисного розв’язку та відповідної
небазисної змінної можна побудувати
лише один цикл.
Теорема 4 (про єдиність циклу)
Сукупність векторів
,(i,j)Î
R
(R
— деяка множина пар індексів) буде
лінійно-залежною тоді і тільки тоді,
коли з множини відповідних їм клітин
транспортної задачі можна обрати
частину, що утворює цикл.
Наслідок 1. Допустимий розв’язок транспортної задачі є базисним тоді, і тільки тоді, коли з клітин, що займає цей розв’язок, не можна утворити жодного циклу.
Наслідок 2. Якщо таблиця транспортної задачі містить базисний розв’язок задачі (5.1) — (5.3), то для кожної вільної клітини цієї таблиці можна утворити один і тільки один цикл, що містить цю клітину та деяку частину зайнятих клітин.
Нехай
маємо деякий ДБР {}
i нехай за змiнну, що вводиться у базис,
обрано змiнну
(їй вiдповiдає клiтина транспортної
таблицi
).
Згiдно з наслiдком 2 для небазисної
змiнної
завжди iснує компенсаторний цикл клiтин,
що замикається на клiтинi
,
і при тому лише єдиний. При цьому змiннiй
надається деяке значення
0.
Перемiщення
по циклу будь-якого числа
не змiнить балансових рiвностей по рядках
i стовпчиках таблицi. I при цьому для
компенсацiї змiни колишньої небазисної
змiнної
деякi базиснi змiннi збiльшуються на,
а деякi — зменшуються
на .
Позначимо знаком "+" ті
клiтини циклу, які вiдповiдають базисним
клiтинам, що збiльшуються на ,
а знаком "–" – ті, що зменшуються
на .
Множина
пар iндексiв базисних змiнних вiдповiдно
розбивається на три пiдмножини, що не
перетинаються:
При
довiльному виборi значення
деякi змiннi
у новому розв’язку можуть стати
вiд’ємними. Отже, щоб новий розв’язок
залишався допустимим, має виконуватися
така умова:
(5.19)