Тема 2.

Необходимые математические сведения из линейной алгебры, теории систем линейных уравнений, выпуклого анализа

(эта версия темы №2 не полная, см. укр. вариант)

Векторы

В дальнейшем будем считать, что всегда являетсявектором – столбцом

-j-ый элемент (j-ая компонента ) вектора x.

Далее в зависимости от контекста будем называть либоточкой, либовектором.

Вектор – строкубудем обозначать так:

Скалярное произведениевекторовзапишем как(д.б. одной размерности)

DefМножество векторовлинейно независимотогда и только тогда, когда система(ноль – столбец)имеет только тривиальное ( нулевое ) решение относительно

Матрицы

Рассмотрим матрицу Aразмерностиmn.

Обозначим через

– вектор-столбец, элементы которого являются элементамиj-го столбцаA,.

- вектор – столбец с элементамиi- ой строкиA,.

С учетом обозначений иможно записать=

def 1.Рангом матрицы А по столбцамназывается наибольшее число линейно независимых векторов средиn m-мерных столбцов.

При этом максимальное число линейно независимых столбцов равно максимальному числу линейно независимых строк. Значит аналогично определению 1 определяется ранг матрицы по строкам.

def 2.Рангом матрицы А по минорамназывается наибольший порядок минора среди миноров, отличных от нуля (минор– это определитель подматрицы ).

Для произвольной матрицы Аранг по столбцам, ранг по строкам и ранг по минорам равны.

def .МатрицаАназываетсяневырожденной(неособенной), если она квадратная (m=n) и полного ранга (rang A =n). Только невырожденная матрица имеет обратную.

Системы линейных уравнений

Система mлинейных уравнений сnпеременнымиможет быть записана в виде

или в виде матричного уравнения

Ax=b(1)

Единственное решение системы существует в том случае, если m = nиА– неособенная.

Тогда

Используя наше обозначение дляj-го столбцаА, матричное уравнение (1) можно переписать в виде

Таким образом решение системы уравнений можно свести к отысканию линейной комбинациивекторов, которая равна векторуb. Коэффициенты этой линейной комбинации и есть элементыx₁, x₂ , ….. , x_n вектораx. ЕслиА– неособенная матрица, то векторылинейно-независимы, а значит существует одна и только одна такая комбинация.

Выпуклые множества

Пусть x¹, x² , ….. , x ^k– произвольные точки из.

Выпуклой линейной комбинацией(ВЛК) этих точек называется сумма вида:

,

где – произвольные неотрицательные числа, такие, что

.

Теорема:ПустьХ– выпуклое множество,x¹, x² , ….. , x ^k– произвольные точки изХ. Тогда множествоХ содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек.

Доказательство:

Доказательство проведем с помощью метода математической индукции (по числу точек k).

• Ситуация, когда k= 1 тривиальна.

• При k= 2 утверждение теоремы совпадает с определением выпуклого множества.

• Пусть любая выпуклая линейная комбинация k – 1точек множестваХ принадлежит данному множеству.

• Рассмотрим kточекx¹, x² , …..,x^{k -1} , x ^k.

Их линейная выпуклая комбинация:

Если , топриитеорема справедлива.

Пусть. Тогда.

Числа,- неотрицательны и их сумма равна единице:

Следовательно, выражение – выпуклая линейная комбинация точекx¹, x² , ... , x ^{k -1}множестваХ.По предположению индукции .

В таком случае точка является выпуклой линейной комбинацией двух точек изХи, следовательно,.