5. Задачи оптимизации – определения

В дальнейшем будем рассматривать только конечномерные задачи оптимизации, то есть задачи, допустимые множестваXкоторых лежат в эвклидовом пространстве .

def.Точканазываетсяточкой глобального минимумафункцииf(x)на множествеXилиглобальным решениемзадачи (1), если

(2)

def.Точканазываетсяточкой локального минимумафункцииf(x)на множествеXилилокальным решениемзадачи (1), если существует такое, что:

, (3)

где - шар радиусас центром в .

def.Если неравенство в (2) или (3) выполняется как строгое при, то говорят, что- точкастрого минимума(строгое решение) в глобальном или локальном смысле соответственно.

Задачу максимизации функции fнаXбудем записывать в виде

f(x)max(4)

xX

Ясно, что задача (4) эквивалентна задаче

-f(x)min

xX

в том смысле, что множества глобальных или локальных строгих или нестрогих решений этих задач соответственно совпадают ( это позволяет без труда переносить утверждения для задачи минимизации на задачу максимизации и наоборот).

def.Точная нижняя грань функцииfнаX, то есть величина

называется значением задачи (1).

Возможны три случая:

a)f*>иf(x*)=f*при некоторомx*X, то есть значение задачи конечно и достигается, при этом;

b) и при всех , то есть значение задачи конечно, но не достигается;

c), то есть значение задачи бесконечно.

В случае a) задача (1) имеет глобальное решение, в случаяхb) иc) – не имеет.

Классификация задач оптимизации

def.ЕслиX=, то задача (1) называетсязадачей безусловной оптимизации.

def.ЕслиX- собственное подмножество , то (1) –задача условной оптимизации.

def.ЕслиXопределяется соотношением а функции и , являются дифференцируемыми, то (1) –задача классической оптимизациии записывается в виде:

def.Под множеством простой структуры в будем понимать множества типа:

а) неотрицательного октанта:

б) n-мерного параллелепипеда:

в) n-мерного шара.

def.ЕслиXопределяется из условия:

где P- множество простой структуры , то (1) –общая задача математического программированияи записывается в виде:

(5)

(6)

(7)

(8)

Рассмотрим также ряд важных определений из теории выпуклых множеств.

defПусть даны две точки, тогда ихвыпуклой линейной комбинациейбудет любая точкаxвида

defМножествовыпукло, если оно содержит все выпуклые линейные комбинации любых пар точек .

defПусть- выпуклое множество.Функциявыпуклана, если для любых двух точек

(*)

если , просто говорят, чтовыпукла.

Грубо говоря, выпуклая функция прогибается вниз.

Так, на рисунке функция f(x) выпукла на отрезке0,1(хорды всегда выше этой функции).

0

def.Функция виданазываетсяафинной. Еслиb= 0, то функцияf(x)называется линейной.

Любая афинная функция выпукла на любом выпуклом множестве X.

def.Задача (1) называется задачейвыпуклой оптимизации, если f(x) – выпуклая функция, а множествоX– выпуклое множество.

def.Если в задаче (5)–(8)f(x)– выпуклая функция,- выпуклые функции,– афинные функции,P- выпуклое множество, то задача (5)-(8) –общая задача выпуклого программирования.

def.Если в задаче (5)-(8)f(x)– линейная функция,- афинные функции,P- неотрицательный октант, то (5)-(8) –задача линейного программирования.

def.Если в (5)-(8)f(x)- квадратичная функция, функции- афинные функции,P- неотрицательный октант, то (5)-(8)-задача квадратичного программирования.

def.Если в задаче (5)-(8) множествоP- дискретное, то задача (5)- (8) –общая задача дискретного программирования(комбинаторная задача).

def.Если в (5)-(8)являются аддитивными или мультипликативными, то задача (5)-(8) - задачасепарабельногопрограммирования.

аддитивная

мультипликативная