7. Дискретні випадкові величини, математичне сподівання та дисперсія

• Випадкова величина називаєтьсядискретною, якщо вона може приймати лише скінченну або зліченну кількість значень .Розподіл дискретної випадкової величини задається набором ймовірностей

Математичне сподівання дискретної випадкової величини визначається таким чином. Припустимо, що рядзбігається. Тоді

(23)

Якщо ряд розбігається, то математичне сподівання не існує.Дисперсія дискретної випадкової величини визначається рівністю

(24)

Нехай – дискретна випадкова величина, яка приймає значенняз ймовірністюСумісний розподіл випадкових величин тазадається набором ймовірностей

Коваріація ікоефіцієнт кореляції випадкових величинівизначаються формулами

(25)

де ,та,обчислюються згідно з (23), (24).

Приклад 1. Урна містить куль, позначених номерами від 1 до. Послідовно виймаютькуль, повертаючи кожен раз взяту кулю назад. Нехай– найбільший номер, який було одержано при цьому. Знайти розподілта.

Розв’язання. Позначимо через номер кулі, яка була вийнята-ю за рахунком. Це дискретна випадкова величина, яка дорівнюєз ймовірністю. Тоді. Враховуючи незалежність випадкових величин, маємо

Приклад 2. Підкидають два гральні кубики. Описати простір елементарних подій . Нехай– кількість очок на першому кубику, а– максимальна кількість очок, що випали на двох кубиках. Знайти сумісний розподілтаі обчислити,,,,та

Розв’язання. Оскільки на кожному кубику може випасти від одного до шести очок, то маємо Визначимо спочатку сумісний розподіл випадкових величинта. НехайТодіякщо;якщо;Звідси отримуємо розподіли випадкових величинта:

Згідно з (23) та (24) обчислюємо математичні сподівання та дисперсії:

Коваріація ікоефіцієнт кореляції визначаються згідно з (25):

• Біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі). Проводяться незалежних випробувань, результатами яких може бути“успіх” (з ймовірністю ) або“невдача” (з ймовірністю ). Якщо черезпозначити кількість“успіхів” у серії з випробувань, то отримаємо біноміальний розподіл

Приклад 3. Що більш імовірно, виграти у гравця, рівного собі за силою гри: a) 3 партії з 4, чи 5 партій з 8; b) не менше 3 партій з 4, чи не менше 5 партій з 8; c) не більше зпартій, чи більшезпартій;d) не більше зпартій, чи більшезпартій?

Розв’язання. Оскільки гравці є рівними за силою гри, то ймовірність виграшу кожним з них однієї партії дорівнює . Тому ймовірність виграшу першим гравцемпартій здорівнюєПозначимо черезівідповідно ймовірності першої та другої подій у кожному з чотирьох вказаних вище випадків.

A. тобто – більш ймовірним є виграш 3 партій з 4.

B. тобто – більш ймовірним є виграш не менше 5 партій з 8.

C. тобто більш ймовірним є виграш не більше зпартій.

D. тобто обидві події є рівноймовірними.

Приклад 4. Проводиться експеримент, який полягає у серії незалежних випробувань, результатом кожного з яких може бути “успіх” (з ймовірністю ) або“невдача” (з ймовірністю ). Експеримент може бути завершений лише в момент чергового успіху. Якщо відбулосьуспіхів (), то експеримент було успішно завершено з ймовірністю. Знайти середню кількість випробувань, необхідних для завершення експерименту.

Розв’язання. Позначимо через кількість випробувань, що було здійснено до завершення експерименту,– ймовірність того, що для завершення експерименту знадобиться не більшевипробувань (). Нехай– ймовірність того, що середвипробувань рівнобуло успішних. Тоді за формулою повної ймовірності маємо

де (якщо відомо, що середвипробуваньбули успішними, то експеримент завершиться з ймовірністю). Підставляючи в цю формулу значеннятаі враховуючи те, що, отримуємо

Оскільки , маємо

Для обчислення останньої суми використаємо таку рівність

(26)

Поклавши маємо

• Геометричний розподіл. Проводиться серія незалежних випробувань, результатами яких може бути “успіх” (з ймовірністю ) або “невдача” (з ймовірністю). Якщо черезпозначити кількість “невдач” до першого“успіху”, то отримаємо геометричний розподіл

Приклад 5. Два приятелі грають у гру, почергово підкидаючи кубик. Виграє той, у кого раніше з’явиться шестірка. Знайти ймовірність того, що гра закінчиться при -му підкиданні кубика. Оцінити, наскільки ймовірність виграти більше у того, хто починав першим.

Розв’язання. Ймовірність отримати шестірку при одному підкиданні дорівнює . Тому гразакінчиться при -му підкиданні з ймовірністюДля того, щоб оцінити ймовірністьвиграшу у того, хто починав першим, достатньо просумуватипо всіх непарних, тобто

Аналогічно Тобто

Приклад 6. Випадкові величини іє незалежними і мають той самий геометричний розподіл Нехай Знайти розподіл величиниі сумісний розподіл величині .

Розв’язання. Сумісний розподіл величин і позначимо

Очевидно, що якщо;якщо;Звідси отримуємо розподіл випадкової величини:

• Розподіл Пуассона. Випадкова величина має розподіл Пуассона з параметромякщо вона приймає значенняз ймовірністю

(27)

Розглянемо послідовність серій випробувань Бернуллі. Припустимо, що в -й серії здійсненовипробувань (так звана“трикутна схема”), причому ймовірність “успіху” дорівнює . Якщо черезпозначити кількість“успіхів” у серії з випробувань, то отримаємо біноміальний розподіл

Теорема Пуассона. Якщо при, то для будь-якого фіксованого

(28)

де

Співвідношення (28) дає можливість суттєво спростити обчислення біноміального розподілу у випадку великої кількості випробувань і малої ймовірності “успіху”:

(29)

Приклад 7. Випадкові величини тає незалежними і мають розподіл Пуассона з параметрамитавідповідно. Знайти умовний розподіл величинипри умові, що

Розв’язання. Обчислимо спочатку

Використовуючи формулу для умовних ймовірностей, маємо

тобто умовний розподіл величини при умові, щоє біноміальним розподілом з параметрамита

Приклад 8. Підручник надруковано накладом 10 000 примірників. Імовірність того, що підручник бракований, дорівнює 0.0001. Знайти закон розподілу випадкової величини – кількості бракованих підручників у накладі. Визначити ,та ймовірності того, що наклад містить:a) два бракованих підручники; b) щонайменше два бракованих підручники.

Розв’язання. Очевидно, що випадкова величина має розподіл Бернуллі з параметрамиЦе якраз той випадок, коли можна застосувати теорему Пуассона і скористатися наближеною рівністю (29):

де Згідно з (27) іЙмовірність того, що у накладі наявні два бракованих підручники дорівнює

Ймовірність того, що у накладі є щонайменше два бракованих підручники дорівнює