6. Умовні ймовірності, незалежні події, формула повної ймовірності, формула Байєса

• Умовна ймовірність. Умовна ймовірність випадкової події при умові, що відбулась подія , визначається за формулою

(20)

Незалежні події. Випадкові події і називаються незалежними, якщо

Незалежні у сукупності події. Випадкові події називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-якогоі для будь-якихвиконується рівність

Приклад 1. Три попарно незалежні події одночасно відбутися не можуть. У припущенні, що всі вони мають одну й ту ж саму ймовірність, визначити максимально можливе значення.

Розв’язання. Позначимо Очевидно– це монотонно неспадна функція за. Використовуючи формулу включень та виключень (16), маємо

(було враховано, що події попарно незалежні, але всі вони одночасно відбутися не можуть). Ця функція монотонно зростає на проміжку і досягає свого максимуму при. Саме ця точка і задовольняє умову задачі.

Приклад 2. Гравці таграють у шахи. За виграш партії зараховується одне очко. Ймовірність того, що партію виграє гравецьдорівнює, а гравець – відповідно (нічия вважається неможливою). Всю гру виграє той, хто обжене суперника на 2 очка. Знайти ймовірність виграшу для гравця.

Розв’язання. Розглянемо можливі варіанти розвитку гри, у яких виграє гравець . По-перше, має бути зіграно обов’язково парну кількість партій, причому останні дві з них повинен виграти гравець(загальну кількість зіграних партій позначимо). По-друге, якщо розглянути партіїта, то одну з них виграє гравець, а другу – гравець. Враховуючи, що у серії зпартій гравецьвиграєпартій, а гравець–партій, а також те, що результати партій є подіями незалежними у сукупності, отримуємо ймовірністьвиникнення серії зпартій, результатом якої є виграш гравця. Легко бачити, що кількість таких серій зпартій дорівнює(у кожних двох партіях може спочатку виграти, а потім, або навпаки – спочатку, а потім). Враховуючи всі можливі значення, маємо остаточну відповідь

Приклад 3. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у ведмедя. Ведмедя вбито однією кулею. Яка ймовірність того, що ведмедя вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірності влучення для них дорівнюють відповідно ,,?

Розв’язання. Введемо події {-й мисливець влучив у ведмедя}, . Тоді{ведмедя вбито однією кулею} , депозначає подію, протилежну до. Згідно з умовою задачі треба обчислити ймовірностіВраховуючи незалежність подій, маємо

Тоді згідно з (20)

Аналогічно

• Повна група подій. Випадкові події утворюють повну групу подій, якщо виконані умови:

1) – попарно несумісні, тобтоØ для будь-яких

2)

Формула повної ймовірності. Якщо – повна група подій іто для будь-якої випадкової подіївиконується рівність

(21)

Приклад 4. З урни, що містить 6 білих та 4 чорних кулі, беруть послідовно дві кулі та перекладають їх в урну, що містить 2 білі та 4 чорні кулі. Чому дорівнює ймовірність витягнути білу кулю з другої урни?

Розв’язання. Введемо повну групу подій:

{у другу урну переклали дві білих кулі};

{спочатку переклали білу, а потім чорну кулі};

{спочатку переклали чорну, а потім білу кулі};

{у другу урну переклали дві чорні кулі}.

Визначимо ймовірності цих подій:

В той же час

Згідно з формулою повної ймовірності (21) маємо

Приклад 5. Два гравці іпо черзі стріляють у ціль. Виграє той, хто влучить перший. Ймовірність влучення в ціль дляідорівнюють відповідноі. Перший стріляє. Обчислити ймовірність виграшу для кожного з гравців.

Розв’язання. Позначимо через таймовірності виграшу відповідних гравців. Введемо повну групу подій:

{ціль була уражена при -му пострілі},

Розглянемо два випадки.

1. Тоді

2. Тоді

Тому згідно з (21) маємо

Аналогічно

• Формула Байєса. Якщо – повна група подій іто для будь-якої випадкової подіїтакої, щовиконується рівність

(22)

Приклад 6. Передається повідомлення, яке закодоване нулями та одиницями. При передачі можуть виникати помилки: одиниця сприймається як нуль з ймовірністю 0.1, а нуль як одиниця – з ймовірністю 0.2. Відомо, що у повідомленні 40% символів складають одиниці. Знайти ймовірність того, що навмання взятий символ було передано без помилки, якщо: a) прийнято одиницю; b) прийнято нуль.

Розв’язання. Введемо події: {передано одиницю},={передано нуль},{прийнято одиницю}. Потрібно знайти ймовірністьВикористаємо формулу Байєса. Для цього визначимо всі ймовірності, що входять у праву частину формули (22). З умови задачі випливає, щоОскількитоКрім того,Згідно з формулою (22) отримуємо

У випадку b) позначимо {прийнято нуль}. Тоді Тоді

Приклад 7. З 18 стрільців п’ятеро потрапляють у мішень з ймовірністю 0.8, семеро – з ймовірністю 0.7, четверо – з ймовірністю 0.6 та двоє – з ймовірністю 0.5. Навмання обраний стрілець робить постріл, але у мішень не влучає. До якої з цих чотирьох груп найбільш ймовірно належить стрілець?

Розв’язання. Розіб’ємо 18 стрільців на чотири групи згідно з вказаними ймовірностями влучення. Введемо події: {навмання обраний стрілець належить-й групі},{стрілець не влучає у мішень}. Потрібно обчислити і порівняти ймовірностіОскільки стрільця обрано навмання, то

Крім того, обчислюємо відповідні умовні ймовірності

Далі застосовуємо формулу Байєса (22):

Аналогічно Звідси випливає, що найбільш ймовірно стрільця було обрано з другої групи.

Приклад 8. З урни, що містить білихічорних куль, загублено одну кулю. Для того, щоб визначити склад куль в урні, з урни взяли дві кулі, які виявились білими. Знайти ймовірність того, що загублена куля – біла.

Розв’язання. Введемо події: {загублена куля є білою},{загублена куля є чорною},{з урни взяли дві білих кулі}. Потрібно обчислити ймовірністьОскільки в урні було білих ічорних куль, то безумовні ймовірності подійтавизначаються таким чином: В той же час

Підставляючи ці значення у формулу (22), маємо